חזרה לקטלוג
#242חשבון דיפרנציאלי
חקירת פונקציות וקעירותקראו את השאלה
שאלה
לפניכם הגרפים של שתי פונקציות, ו- , בתחום . נתון כי לפונקציות ו- אין נקודות פיתול בתחום זה.
מהו סימן המכפלה בתחום ?
חשבון דיפרנציאלי · חקירת פונקציות וקעירות
השאלה
לפניכם הגרפים של שתי פונקציות, $f(x)$ ו- $g(x)$, בתחום $x > 0$. נתון כי לפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ אין נקודות פיתול בתחום זה. מהו סימן המכפלה $g''(x) \cdot f''(x)$ בתחום $x > 0$?
הטיפ של עובד
איך יודעים את הסימן של הנגזרת השנייה רק מהסתכלות על הגרף? זה הסוד הכי פשוט בחקירת פונקציות: אם הפונקציה נראית כמו קערה מחייכת (קעורה כלפי מעלה ∪), הנגזרת השנייה שלה היא חיובית (+). אם הפונקציה נראית כמו קערה בוכה/הפוכה (קעורה כלפי מטה ∩), הנגזרת השנייה שלה היא שלילית (-). כשאומרים שאין להן נקודות פיתול, זה אומר שהן לא מחליפות פרצוף! מי שמחייכת נשארת מחייכת, ומי שבוכה נשארת בוכה לכל אורך התחום.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1: ניתוח הסימן של $g''(x)$
נביט בגרף הפונקציה $g(x)$. בתחום הנתון $x > 0$, צורת הגרף היא של עקומה שמתקערת כלפי מעלה (∪). על פי הקשר בין פונקציה לנגזרתה השנייה, כאשר פונקציה קעורה כלפי מעלה, הנגזרת השנייה שלה חיובית. מסקנה: בתחום $x > 0$, מתקיים $g''(x) > 0$ (סימן חיובי).
מושגים: קעירות כלפי מעלה, סימן הנגזרת השנייה
שלב 2: שלב 2: ניתוח הסימן של $f''(x)$
נביט בגרף הפונקציה $f(x)$. בתחום הנתון $x > 0$, צורת הגרף היא של עקומה שמתקערת כלפי מטה (∩). על פי הקשר בין פונקציה לנגזרתה השנייה, כאשר פונקציה קעורה כלפי מטה, הנגזרת השנייה שלה שלילית. מסקנה: בתחום $x > 0$, מתקיים $f''(x) < 0$ (סימן שלילי).
מושגים: קעירות כלפי מטה, סימן הנגזרת השנייה
שלב 3: שלב 3: סיכום התוצאות לסימן המכפלה
אנו מתבקשים למצוא את הסימן של המכפלה: $g''(x) \cdot f''(x)$. מכיוון שנתון שאין להן נקודות פיתול, הסימנים שמצאנו נשארים קבועים לכל אורך התחום $x > 0$. נציב את הסימנים שמצאנו: (חיובי) $\times$ (שלילי) = (שלילי) מכפלה של גורם חיובי בגורם שלילי נותנת תמיד תוצאה שלילית.
מושגים: סימן המכפלה
תשובה סופית
התשובה הסופית: סימן המכפלה $g''(x) \cdot f''(x)$ הוא שלילי.