חזרה לקטלוג
#240חשבון דיפרנציאלי
חקירת פונקציות וקעירותקראו את השאלה
שאלה
נתונים הגרפים של הפונקציות f(x) ו-g(x) (הישר y=0 משמש כאסימפטוטה לשתיהן). ל-f(x) ו-g(x) אין נקודות פיתול.
מהו סימן המכפלה בתחום ?
חשבון דיפרנציאלי · חקירת פונקציות וקעירות
השאלה
נתונים הגרפים של הפונקציות f(x) ו-g(x) (הישר y=0 משמש כאסימפטוטה לשתיהן). ל-f(x) ו-g(x) אין נקודות פיתול. מהו סימן המכפלה $g''(x) \cdot f''(x)$ בתחום $x > 0$?
הטיפ של עובד
הקשר בין צורת הגרף לנגזרת השנייה הוא המפתח כאן - אל תנסו לחשב נגזרות! זכרו את הכלל: פונקציה שקעורה כלפי מעלה (כמו חיוך) ⟶ הנגזרת השנייה שלה חיובית. פונקציה שקעורה כלפי מטה (כמו עצב) ⟶ הנגזרת השנייה שלה שלילית. מכיוון שאין נקודות פיתול, הסימן של כל נגזרת שנייה קבוע לאורך כל התחום - פשוט הסתכלו על צורת כל גרף וקבעו את הסימן.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1 - ניתוח g(x)
הגרף של $g(x)$ קעור כלפי מעלה (פתוח כלפי מעלה) ואין לו נקודות פיתול. לכן הנגזרת השנייה חיובית בכל התחום: $$g''(x) > 0$$
מושגים: קעירות ונגזרת שנייה
שלב 2: שלב 2 - ניתוח f(x)
הגרף של $f(x)$ קעור כלפי מטה (פתוח כלפי מטה) ואין לו נקודות פיתול. לכן הנגזרת השנייה שלילית בכל התחום: $$f''(x) < 0$$
מושגים: קעירות ונגזרת שנייה
שלב 3: שלב 3 - קביעת סימן המכפלה
כעת נכפיל את הסימנים: $$g''(x) \cdot f''(x) = (\text{חיובי}) \times (\text{שלילי}) = \text{שלילי}$$ מכיוון ששני הסימנים קבועים לאורך כל התחום (אין נקודות פיתול), המכפלה שלילית בכל התחום $x > 0$. $$g''(x) \cdot f''(x) < 0$$
מושגים: סימן הנגזרת השנייה
תשובה סופית
התשובה הסופית: המכפלה $g''(x) \cdot f''(x)$ היא שלילית בכל התחום $x > 0$.