חזרה לקטלוג
#215פונקציות
חקירת פונקציית שורש - תחום הגדרה עם אי-שיוויון ריבועיקראו את השאלה
שאלה
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה:
פונקציות · חקירת פונקציית שורש - תחום הגדרה עם אי-שיוויון ריבועי
השאלה
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה: g(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 5}
הטיפ של עובד
שים לב: המקדם של x^2 הוא שלילי. כשתפרק לגורמים, הסימנים של הביטוי יהיו הפוכים מהמקרה הקודם. בדוק בזהירות איך הפרבולה מתנהגת.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: כתוב את תנאי ההגדרה
נדרוש שהביטוי תחת השורש יהיה אי-שלילי: -x^2 + 4x + 5 \geq 0
מושגים: תנאי הגדרה
שלב 2: פרק את הביטוי לגורמים
הוצא מינוס משותף ופרק: -x^2 + 4x + 5 = -(x^2 - 4x - 5) = -(x - 5)(x + 1) לכן: -(x - 5)(x + 1) \geq 0 או שקול: (x - 5)(x + 1) \leq 0
מושגים: פירוק לגורמים, מקדם שלילי
שלב 3: מצא את נקודות האפס ובדוק סימנים
נקודות אפס: x = -1 ו-x = 5. בדוק את סימן המכפלה בכל תחום: \begin{align} x < -1: & \quad (-)(-) = (+), \text{ לא מקיים} \times \\ -1 \leq x \leq 5: & \quad (+)(-) = (-), \text{ מקיים} \checkmark \\ x > 5: & \quad (+)(+) = (+), \text{ לא מקיים} \times \end{align}
מושגים: בדיקת סימנים, אי-שיוויון מחודד
שלב 4: רשום את תחום ההגדרה
הביטוי תחת השורש אי-שלילי בתחום סגור בין שתי שורשי המשוואה: D_g = [-1, 5]
מושגים: תחום הגדרה, קטע סגור
תשובה סופית
התשובה הסופית: D_g = [-1, 5]