חזרה לקטלוג
#211חקירת פונקציות
גזירת פונקציה רציונלית עם שורשקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה:
מצא את הנגזרת של הפונקציה.
חקירת פונקציות · גזירת פונקציה רציונלית עם שורש
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \sqrt{\frac{x}{x+2}} מצא את הנגזרת של הפונקציה.
הטיפ של עובד
זו פונקציה מורכבת: שורש של מנה. התחל בכלל השרשרת מבחוץ פנימה, ואז חל את כלל המנה על הביטוי בתוך השורש.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: זיהוי הפונקציה המורכבת
נרשום את הפונקציה כהרכבה: f(x) = \left(\frac{x}{x+2}\right)^{1/2} הפונקציה החיצונית היא: g(u) = u^(1/2), והפונקציה הפנימית היא: u(x) = x/(x+2)
מושגים: פונקציה מורכבת, כלל השרשרת
שלב 2: יישום כלל השרשרת
לפי כלל השרשרת: f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+2}}} \cdot \left(\frac{x}{x+2}\right)' כעת צריך למצוא את הנגזרת של המנה x/(x+2).
מושגים: כלל השרשרת, גזירת שורש
שלב 3: גזירת המנה בתוך השורש
משתמשים בכלל המנה עם u(x) = x ו-v(x) = x+2: u'(x) = 1, \quad v'(x) = 1 \left(\frac{x}{x+2}\right)' = \frac{1 \cdot (x+2) - x \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}
מושגים: כלל המנה
שלב 4: הצבה ופישוט
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+2}}} \cdot \frac{2}{(x+2)^2} נפשט את השורש במכנה: \sqrt{\frac{x}{x+2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}} \cdot \frac{2}{(x+2)^2} = \frac{\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{(x+2)^2} f'(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}(x+2)^2}
מושגים: פישוט אלגברי, עבודה עם שורשים
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: f'(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}(x+2)^2} או בצורה מקבילה: f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(x+2)^{3/2}}