חזרה לקטלוג
#210חקירת פונקציות
גזירת פונקציה רציונלית עם שורשקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה:
מצא את הנגזרת של הפונקציה.
חקירת פונקציות · גזירת פונקציה רציונלית עם שורש
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1} מצא את הנגזרת של הפונקציה.
הטיפ של עובד
כאשר יש לך מנה של פונקציות, השתמש בכלל המנה. זכור שהנגזרת של שורש x היא חצי חלקי שורש x.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: זיהוי המונה והמכנה
במנה f(x) = u(x)/v(x), נסמן: u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} v(x) = x + 1
מושגים: זיהוי רכיבים
שלב 2: חישוב הנגזרות של המונה והמכנה
u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} v'(x) = 1
מושגים: גזירת שורש, גזירת פולינום
שלב 3: יישום כלל המנה
f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2} זה הביטוי לפני פישוט.
מושגים: כלל המנה
שלב 4: פישוט הביטוי
f'(x) = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+1)^2} כדי לפשט את המונה, נביא לחלק משותף: f'(x) = \frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} f'(x) = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
מושגים: פישוט אלגברי, חלק משותף
תשובה סופית
התשובה הסופית: f'(x) = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}