חזרה לקטלוג
#209חקירת פונקציית שורש
גזירת מכפלת שתי פונקציות בהקשר של פונקציות שורשקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה:
חשב את g'(x) בעזרת כלל המכפלה ופשט את התוצאה.
חקירת פונקציית שורש · גזירת מכפלת שתי פונקציות בהקשר של פונקציות שורש
השאלה
נתונה הפונקציה: g(x) = (x^2 - 4) \cdot \sqrt{x} חשב את g'(x) בעזרת כלל המכפלה ופשט את התוצאה.
הטיפ של עובד
כאשר יש לך מכפלה בסדר הפוך (פולינום כפול שורש), החל את כלל המכפלה באותו אופן: גזור את הפולינום תחילה, כפול השורש ללא גזירה, ואחר כך את הפולינום ללא גזירה כפול הנגזרת של השורש.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: זיהוי הפונקציות
נסמן: u(x) = x^2 - 4, \quad v(x) = \sqrt{x}
מושגים: זיהוי מרכיבים
שלב 2: חישוב הנגזרות
u'(x) = 2x v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
מושגים: נגזרת של פולינום, נגזרת של שורש
שלב 3: יישום כלל המכפלה
g'(x) = 2x \cdot \sqrt{x} + (x^2 - 4) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
מושגים: כלל המכפלה
שלב 4: פישוט: המרה למכנה משותף
המר את האיבר הראשון לשורש במכנה: 2x \cdot \sqrt{x} = \frac{2x \cdot 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{4x^2}{2\sqrt{x}} כעת חברו: g'(x) = \frac{4x^2}{2\sqrt{x}} + \frac{x^2 - 4}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}}
מושגים: פישוט, מכנה משותף
תשובה סופית
התשובה הסופית: g'(x) = \frac{5x^2 - 4}{2\sqrt{x}}