חזרה לקטלוג
#208חקירת פונקציית שורש
גזירת מכפלת שתי פונקציות בהקשר של פונקציות שורשקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה:
מצא את הנגזרת של הפונקציה בעזרת כלל המכפלה.
חקירת פונקציית שורש · גזירת מכפלת שתי פונקציות בהקשר של פונקציות שורש
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \sqrt{x} \cdot (3x + 2) מצא את הנגזרת של הפונקציה בעזרת כלל המכפלה.
הטיפ של עובד
כלל המכפלה אומר: אם f(x) = u(x) · v(x), אז f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x). זכור שהנגזרת של √x היא 1/(2√x).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: זיהוי הפונקציות u(x) ו-v(x)
נסמן את המכפלה כ-u(x) · v(x) כאשר: u(x) = \sqrt{x}, \quad v(x) = 3x + 2
מושגים: זיהוי מרכיבים
שלב 2: חישוב הנגזרות של כל מרכיב
נגזור כל פונקציה בנפרד: u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} v'(x) = 3
מושגים: נגזרת של שורש, נגזרת של פולינום
שלב 3: יישום כלל המכפלה
לפי כלל המכפלה: f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (3x + 2) + \sqrt{x} \cdot 3
מושגים: כלל המכפלה
שלב 4: פישוט התוצאה
f'(x) = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x}} + 3\sqrt{x} אפשר להביא למכנה משותף: f'(x) = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x}} + \frac{6x}{2\sqrt{x}} = \frac{9x + 2}{2\sqrt{x}}
מושגים: פישוט, מכנה משותף
תשובה סופית
התשובה הסופית: f'(x) = \frac{9x + 2}{2\sqrt{x}}