במעוין ABCD הצלע AB מונחת על הישר 5x + y + 2 = 0, והאלכסון DB מונח על הישר x + y + 2 = 0. הקודקוד D נמצא ברביע השני. גובה המעוין הוא: \frac{24}{\sqrt{26}} א. מצאו את שיעורי הקודקוד D. ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
גובה המעוין הוא המרחק מכל קודקוד הנמצא על צלע אחת אל הישר של הצלע המקבילה לה! כיוון שהקודקוד D נמצא על הצלע CD המקבילה ל-AB, המרחק מהנקודה D לישר AB הוא בדיוק גובה המעוין. סמנו את D באמצעות משתנה אחד (היא נמצאת על אלכסון DB) והשתמשו בנוסחת מרחק נקודה מישר! בסעיף ב': לאחר שמצאתם את D, זכרו שכל צלעות המעוין שוות, ולכן AD = AB. השתמשו בנוסחת המרחק (דיסטנס) פעמיים כדי למצוא את A (שנמצאת על ישר AB).
הקודקוד D מונח על האלכסון DB, שמשוואתו נתונה: x + y + 2 = 0. נבודד את y כדי להביע את הנקודה בצורה נוחה: y = -x - 2 נסמן את שיעור ה-x של נקודה D בפרמטר t. לכן שיעורי הנקודה יהיו: D(t, -t - 2) נתון כי הנקודה D נמצאת ברביע השני. ברביע השני מתקיים: x < 0 ו- y > 0. כלומר, אנו מחפשים פתרון שבו t < 0.
מושגים: נקודה על ישר ידוע
גובה המעוין שווה למרחק מקודקוד D לישר המכיל את הצלע הנגדית AB. משוואת הישר AB (בצורה סתומה): 5x + 1y + 2 = 0. (A=5, B=1, C=2). נציב בנוסחת מרחק נקודה מישר יחד עם גובה המעוין שנתון לנו: d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ \frac{24}{\sqrt{26}} = \frac{|5 \cdot t + 1 \cdot (-t - 2) + 2|}{\sqrt{5^2 + 1^2}} נפשט את הביטויים: \frac{24}{\sqrt{26}} = \frac{|5t - t - 2 + 2|}{\sqrt{25 + 1}} \\ \frac{24}{\sqrt{26}} = \frac{|4t|}{\sqrt{26}} המכנים זהים, לכן נוכל להשוות את המונים (משוואת ערך מוחלט): |4t| = 24 למשוואה זו שני פתרונות: 1. 4t = 24 יוביל ל- t = 6. אם נציב נקבל D(6, -8) (רביע רביעי - נפסל!). 2. 4t = -24 יוביל ל- t = -6. אם נציב נקבל y = -(-6) - 2 = 4. הנקודה היא D(-6, 4) (רביע שני - מתאים!). מצאנו כי שיעורי הקודקוד הם: D(-6, 4).
מושגים: מרחק נקודה מישר
כדי להשתמש בתכונה AD = AB, עלינו למצוא קודם את קודקוד B. נקודה B היא נקודת החיתוך של האלכסון DB והצלע AB. נשווה את ה-y של שתי המשוואות: -5x - 2 = -x - 2 \\ -4x = 0 \implies x = 0 נציב x=0 כדי למצוא את y ונקבל y = -2. מכאן: B(0, -2). כעת נביע את קודקוד A. הוא מונח על הצלע AB שמשוואתה y = -5x - 2. נסמן: A(x_A, -5x_A - 2)
מושגים: נקודה על ישר ידוע
במעוין כל הצלעות שוות, ולכן AD = AB. מטעמי נוחות, נשווה את ריבועי המרחקים כדי לא להתעסק עם שורשים. נחשב את ריבוע המרחק AB: AB^2 = (x_A - 0)^2 + (-5x_A - 2 - (-2))^2 \\ AB^2 = x_A^2 + (-5x_A)^2 = 26x_A^2 נחשב את ריבוע המרחק AD (בין A ל- D): AD^2 = (x_A - (-6))^2 + (-5x_A - 2 - 4)^2 \\ AD^2 = (x_A + 6)^2 + (-5x_A - 6)^2 נפתח סוגריים (כפל מקוצר): AD^2 = x_A^2 + 12x_A + 36 + 25x_A^2 + 60x_A + 36 \\ AD^2 = 26x_A^2 + 72x_A + 72 נשווה את הביטויים שקיבלנו: 26x_A^2 = 26x_A^2 + 72x_A + 72 האיבר הריבועי נופל ונקבל משוואה פשוטה: 72x_A = -72 \implies x_A = -1 נמצא את ערך ה-y של A על ידי הצבה במשוואת AB: y_A = -5(-1) - 2 = 5 - 2 = 3 מצאנו כי שיעורי הקודקוד הם: A(-1, 3).
מושגים: תכונות המעוין (צלעות)
התשובה הסופית: א. שיעורי קודקוד D הם D(-6, 4) ב. שיעורי קודקוד A הם A(-1, 3)
במעוין ABCD הצלע AB מונחת על הישר 5x + y + 2 = 0, והאלכסון DB מונח על הישר x + y + 2 = 0.
הקודקוד D נמצא ברביע השני. גובה המעוין הוא:
א. מצאו את שיעורי הקודקוד D. ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
