במעוין \( ABCD \) משוואת האלכסון \( BD \) היא \( y = 2x + 1 \). נתון: \( A(-3, 5) \). **א.** מצאו את משוואת האלכסון \( AC \) ואת שיעורי הקודקוד \( C \). **ב.** נתון ששטח המעוין הוא 60 סמ"ר. חשבו את אורך האלכסון \( BD \). **ג.** מצאו את שיעורי הקודקודים \( B \) ו-\( D \) (\( B \) ברביע הראשון ו-\( D \) ברביע השלישי).
**סודות המעוין באנליטית:** המילה "מעוין" מסתירה בתוכה שני נתונים קריטיים על האלכסונים שלו - הם **מאונכים** זה לזה (מכפלת השיפועים שווה למינוס 1) והם **חוצים** זה את זה (נקודת אמצע קטע). תתחילו ממציאת השיפוע ההופכי והנגדי! בנוסף, איך מקשרים שטח באנליטית? הנוסחה היעילה ביותר לשטח מעוין היא מחצית מכפלת האלכסונים: \( S = \frac{AC \cdot BD}{2} \). ברגע שתמצאו את אורך \( AC \) (דיסטנס), תוכלו לחלץ בקלות את האורך של \( BD \).
**1. מציאת משוואת AC:** נתון לנו מעוין. תכונה חשובה של מעוין היא שאלכסוניו **מאונכים** זה לזה. כלומר: \( AC \perp BD \). שיפוע האלכסון הנתון \( BD \) הוא \( m = 2 \) (מתוך המשוואה \( y = 2x + 1 \)). לכן, שיפוע האלכסון \( AC \) יהיה הופכי ונגדי לו: \[ m_{AC} = -\frac{1}{m_{BD}} = -\frac{1}{2} = -0.5 \] כעת יש לנו את שיפוע הישר \( AC \) ונקודה שעליו \( A(-3, 5) \). נמצא את המשוואה לפי נוסחת מציאת ישר: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 5 = -0.5(x - (-3)) \] \[ y - 5 = -0.5(x + 3) \] \[ y - 5 = -0.5x - 1.5 \] \[ y = -0.5x + 3.5 \] **2. מציאת קודקוד C:** במעוין, האלכסונים גם **חוצים** זה את זה. נסמן את נקודת מפגש האלכסונים ב-\( M \). הנקודה \( M \) היא חיתוך הישרים \( AC \) ו-\( BD \). נשווה בין המשוואות כדי למצוא את \( M \): \[ 2x + 1 = -0.5x + 3.5 \] \[ 2.5x = 2.5 \] \[ x = 1 \] נציב \( x=1 \) באחת המשוואות למציאת ה-\( y \): \[ y = 2(1) + 1 = 3 \] נקודת מפגש האלכסונים היא \( M(1, 3) \). כיוון ש-\( M \) היא אמצע הקטע \( AC \), נשתמש בנוסחת אמצע קטע למציאת \( C(x_c, y_c) \): \[ x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-3 + x_C}{2} \Rightarrow 2 = -3 + x_C \Rightarrow x_C = 5 \] \[ y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 3 = \frac{5 + y_C}{2} \Rightarrow 6 = 5 + y_C \Rightarrow y_C = 1 \] **מסקנה:** משוואת \( AC \) היא \( y = -0.5x + 3.5 \), ושיעורי הקודקוד הם \( C(5, 1) \).
מושגים: תכונות מרובעים במערכת הצירים
נתון ששטח המעוין הוא 60. נוסחת שטח מעוין באמצעות אלכסוניו היא: \[ S = \frac{AC \cdot BD}{2} \] נחשב את אורך האלכסון \( AC \) באמצעות נוסחת המרחק (דיסטנס) בין הנקודות \( A(-3, 5) \) ו-\( C(5, 1) \): \[ AC = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} \] \[ AC = \sqrt{(8)^2 + (-4)^2} \] \[ AC = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \] נציב את השטח הנתון ואת האורך של \( AC \) בנוסחת השטח ונחלץ את \( BD \): \[ 60 = \frac{\sqrt{80} \cdot BD}{2} \] \[ 120 = \sqrt{80} \cdot BD \] \[ BD = \frac{120}{\sqrt{80}} \] ניתן להשאיר את התשובה כך, או לפשט (באמצעות מחשבון או ידנית): \( \frac{120}{\sqrt{16 \cdot 5}} = \frac{120}{4\sqrt{5}} = \frac{30}{\sqrt{5}} = \frac{30\sqrt{5}}{5} = 6\sqrt{5} \). אם נכניס את ה-6 חזרה לשורש, נקבל \( \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180} \). **אורך האלכסון הוא \( BD = \sqrt{180} \) (או \( 6\sqrt{5} \)).**
מושגים: שטחים בגיאומטריה אנליטית
אנו יודעים שהנקודות \( B \) ו-\( D \) מונחות על הישר \( y = 2x + 1 \). לכן, נוכל לסמן נקודה כללית על ישר זה באופן הבא: \( (x, 2x + 1) \). **הרעיון המרכזי:** נקודת מפגש האלכסונים \( M(1,3) \) חוצה את האלכסון \( BD \). מכיוון שהאורך הכולל הוא \( \sqrt{180} \), המרחק מהנקודה \( M \) לכל אחד מהקודקודים (\( B \) או \( D \)) הוא בדיוק חצי מהאלכסון. נחשב את מחצית האלכסון (המרחק \( MB \) או \( MD \)): \[ d = \frac{\sqrt{180}}{2} = \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5} \] (לנוחות החישוב אפשר גם להעלות בריבוע את החצי: \( d^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45 \)) נבנה משוואת מרחק (דיסטנס בריבוע) בין הנקודה הכללית \( (x, 2x + 1) \) לבין נקודת האמצע \( M(1, 3) \), ונשווה ל-\( 45 \): \[ (x - 1)^2 + (2x + 1 - 3)^2 = 45 \] \[ (x - 1)^2 + (2x - 2)^2 = 45 \] נוציא גורם משותף 2 מהסוגריים השניים (אשר הופך ל-4 בגלל הריבוע): \[ (x - 1)^2 + 4(x - 1)^2 = 45 \] \[ 5(x - 1)^2 = 45 \quad /:5 \] \[ (x - 1)^2 = 9 \] נוציא שורש ונקבל שתי אפשרויות: \[ x - 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] \[ x - 1 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \] נציב כל אפשרות במשוואת הישר \( y = 2x + 1 \) כדי למצוא את שיעורי ה-\( y \): * עבור \( x = 4 \): מקבלים \( y = 2(4) + 1 = 9 \). הנקודה היא \( (4, 9) \). מכיוון שהיא ברביע הראשון (x חיובי, y חיובי), זוהי הנקודה **\( B \)**. * עבור \( x = -2 \): מקבלים \( y = 2(-2) + 1 = -3 \). הנקודה היא \( (-2, -3) \). מכיוון שהיא ברביע השלישי (x שלילי, y שלילי), זוהי הנקודה **\( D \)**. **שיעורי הקודקודים הם: \( B(4, 9) \) ו-\( D(-2, -3) \).**
מושגים: הצבת נקודה כללית על ישר
במעוין ABCD משוואת האלכסון BD היא y=2x+1. נתון: A(−3,5). **א.** מצאו את משוואת האלכסון AC ואת שיעורי הקודקוד C. **ב.** נתון ששטח המעוין הוא 60 סמ"ר. חשבו את אורך האלכסון BD. **ג.** מצאו את שיעורי הקודקודים B ו-D (B ברביע הראשון ו-D ברביע השלישי).
