ממוצע לעומת חציון: שני מדדי מרכז שונים

הממוצע והחציון הם שני מדדי מרכז שכיחים. כל אחד מודד "ערך מרכזי" בדרך שונה, וההבדל ביניהם מגלה דברים על התפלגות הנתונים.

הגדרות

ממוצע (אריתמטי): סכום הערכים חלקי מספרם.

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

חציון: המספר האמצעי אחרי סידור הנתונים מהקטן לגדול.

• אם n אי-זוגי: האיבר ה-(n+1)/2.
• אם n זוגי: ממוצע שני האיברים האמצעיים.

דוגמה הדדית

נתונים: 2, 3, 4, 5, 6.

ממוצע: (2+3+4+5+6)/5 = 20/5 = 4.

חציון: המספר השלישי בסידור: 4.

זהים. בנתונים סימטריים, ממוצע וחציון תואמים.

דוגמה עם ערך חריג

נתונים: 2, 3, 4, 5, 100.

ממוצע: (2+3+4+5+100)/5 = 114/5 = 22.8.

חציון: האמצעי: 4.

הבדל דרמטי. הערך 100 משך את הממוצע למעלה, אבל החציון נשאר באותו מקום. החציון יציב יותר לערכים קיצוניים.

טבלת השוואה

אסימטריה ימינה ושמאלה

• אסימטריה ימינה (זנב לימין): ממוצע > חציון. הזנב הארוך מצד ימין מושך את הממוצע למעלה.
• אסימטריה שמאלה (זנב לשמאל): ממוצע < חציון.
• סימטרי: ממוצע = חציון.

זה כלל חזק לזיהוי צורת ההתפלגות.

דוגמה. שכר חציוני לעומת ממוצע

בכלכלה, "השכר החציוני" נחשב למדד טוב יותר מ"השכר הממוצע" לתיאור המעמד הביניים. הסיבה: שכר ממוצע מושפע מאוד מבעלי הון, בעוד החציון מתאר את האדם באמצע סולם השכר.

זוהי דוגמה למה הבחירה בין מדדים חשובה.

ממוצע משוקלל

לפעמים נדרש ממוצע עם משקלים שונים לכל ערך:

$$\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$$

למשל, ציון סופי בגרות שבו 30% מבחנים בית-ספריים ו-70% הבגרות עצמה. לחציון אין שיקלול ישיר באותה צורה.

איך מוצאים בבעיית בגרות

לבעיה עם נתונים: ראשית מסדרים מהקטן לגדול, אחר כך:

• ממוצע: מסכמים ומחלקים ב-n.
• חציון: בוחרים את האמצעי (או ממצעים שני אמצעיים אם n זוגי).

עמודים קשורים

• הסתברות בסיסית
• התפלגות נורמלית