מתמטיקה · טריגונומטריה

השאלה

ABCD הוא טרפז חסום במעגל ($AB \parallel DC$). נתון: $AB = a$ , $CD = b$ (כאשר $a < b$). $\angle BCD = 60^\circ$ א. הבע את אורך שוקי הטרפז, $AD$ ו-$BC$, באמצעות $a$ ו-$b$. נתון: $a = 6$ , אורך האלכסון $BD$ הוא $6\sqrt{7}$. ב. חשב את $b$.

הטיפ של עובד

ברגע שאתם קוראים את המילים טרפז חסום במעגל – חייבת לקפוץ לכם לראש הנורה האדומה: זהו טרפז שווה שוקיים! אי אפשר לחסום טרפז שאינו שווה שוקיים במעגל (כי סכום זוויות נגדיות במרובע חסום הוא 180, ובטרפז סכום זוויות סמוכות לשוק הוא גם 180, מה שמחייב שוויון זוויות בסיס). לגבי סעיף א' – איך מוצאים אורך שוק בטרפז שווה שוקיים כשיש לנו את הבסיסים? הטריק הכי ישן בספר: מורידים שני גבהים ויוצרים מלבן באמצע ושני משולשים ישרי זווית חופפים בצדדים. לגבי סעיף ב' – ברגע שנותנים לכם אורך של צלע (6), עוד צלע (b-6), עוד צלע ($6\sqrt{7}$) וזווית (60°), זה פשוט צועק משפט הקוסינוסים!.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א': מציאת אורך שוק הטרפז

1. תכונת הטרפז החסום: מכיוון שטרפז ABCD חסום במעגל, חובה עליו להיות טרפז שווה שוקיים. לכן, שוקיו שוות זו לזו: $AD = BC$, וגם זוויות הבסיס שלו שוות: $\angle ADC = \angle BCD = 60^\circ$. 2. בניית גבהים: נוריד גבהים מהקודקודים A ו-B לבסיס התחתון DC. נסמן את נקודות הפגיעה ב-E ו-F בהתאמה. נוצר לנו מלבן ABFE באמצע (כי הגבהים מאונכים לבסיסים המקבילים). לכן, $EF = AB = a$. 3. חישוב השוליים (קטעים DE ו-FC): בטרפז שווה שוקיים, שני המשולשים שנוצרים בצדדים ($\triangle ADE$ ו-$\triangle BCF$) הם חופפים. לכן, הקטעים DE ו-FC שווים באורכם, והם שווים למחצית מההפרש שבין הבסיסים: $FC = \frac{DC - AB}{2} = \frac{b - a}{2}$. 4. שימוש בטריגונומטריה במשולש BCF: נתבונן במשולש ישר הזווית BCF. אנו יודעים ש- $\angle C = 60^\circ$, ואנו מחפשים את היתר $BC$, כשידוע לנו הניצב שליד הזווית ($FC$). נשתמש בפונקציית הקוסינוס: \[ \cos(60^\circ) = \frac{FC}{BC} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{\frac{b - a}{2}}{BC} \] נכפול בהצלבה ונבודד את $BC$: \[ BC = 2 \cdot \frac{b - a}{2} = b - a \] מכיוון שהטרפז שווה שוקיים, הרי ש- $AD = BC = b - a$.

מושגים: מרובע חסום במעגל, בניית עזר בטרפז

שלב 2: סעיף ב': חישוב הבסיס b בעזרת משפט הקוסינוסים

נאסוף את כל הנתונים שיש לנו כעת על המשולש BCD (המשולש שנוצר על ידי האלכסון הנתון): - צלע $CD = b$ (הבסיס התחתון הנתון) - צלע $BC$: לפי סעיף א', מצאנו ש- $BC = b - a$. נתון לנו כעת ש- $a = 6$, לכן: $BC = b - 6$. - צלע $BD = 6\sqrt{7}$ (נתון האלכסון) - הזווית הכלואה: $\angle BCD = 60^\circ$ (נתון) מכיוון שיש לנו משולש שבו ידועות (או מובעות באמצעות נעלם אחד) שלוש צלעות וזווית אחת, נשתמש במשפט הקוסינוסים על הצלע שמול הזווית ($BD$): \[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD) \] נציב את הנתונים: \[ (6\sqrt{7})^2 = (b - 6)^2 + b^2 - 2 \cdot (b - 6) \cdot b \cdot \cos(60^\circ) \] נפשט את המשוואה. נזכור ש- $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$: \[ 36 \cdot 7 = (b^2 - 12b + 36) + b^2 - 2 \cdot (b^2 - 6b) \cdot \frac{1}{2} \] \[ 252 = 2b^2 - 12b + 36 - (b^2 - 6b) \] \[ 252 = 2b^2 - 12b + 36 - b^2 + 6b \] נכנס איברים דומים ונעביר הכל לאגף אחד כדי לקבל משוואה ריבועית: \[ b^2 - 6b + 36 - 252 = 0 \] \[ b^2 - 6b - 216 = 0 \] נפתור באמצעות נוסחת השורשים (או טרינום: $(b-18)(b+12)=0$): \[ b_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 864}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{6 \pm 30}{2} \] קיבלנו שתי אפשרויות ל-b: - $ b_1 = \frac{36}{2} = 18 $ - $ b_2 = \frac{-24}{2} = -12 $ (תשובה נפסלת, שכן b מייצג אורך של צלע והוא חייב להיות חיובי). לסיכום, אורך הבסיס התחתון הוא $b = 18$. (נוודא גם שמתקיים התנאי הנתון בשאלה $a < b$, ואכן $6 < 18$).

מושגים: משפט הקוסינוסים

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. $AD = BC = b - a$ ב. $b = 18$

חזרה לקטלוג

#197מתמטיקה

טריגונומטריה

קראו את השאלה

שאלה

ABCD הוא טרפז חסום במעגל ( $AB \parallel DC$ ). נתון: $AB = a$ , $CD = b$ (כאשר $a < b$ ). $\angle BCD = 60^\circ$

א. הבע את אורך שוקי הטרפז, $AD$ ו- $BC$ , באמצעות $a$ ו- $b$ . נתון: $a = 6$ , אורך האלכסון $BD$ הוא $6\sqrt{7}$ . ב. חשב את $b$ .