מתמטיקה · טריגונומטריה וחקירת פונקציות

שלב 1: שלב 1: התאמת האי-שוויון לתבנית הפונקציה

ניתן לנו האי-שוויון הבא: \[ \frac{1}{2}\sin x > \sqrt{\sin x} \] ננסה לסדר אותו כך שידמה לפונקציה שאת הגרף שלה אנו כבר מכירים: \[ f(x) = -\sqrt{\sin x} + \frac{1}{2}\sin x \] נעביר את הביטוי של השורש מאגף ימין לאגף שמאל (בפעולת חיסור): \[ -\sqrt{\sin x} + \frac{1}{2}\sin x > 0 \] נשים לב שהביטוי שהתקבל באגף שמאל הוא בדיוק הפונקציה \(f(x)\). לכן, האי-שוויון שקול לדרישה: \[ f(x) > 0 \]

מושגים: העברת אגפים ליצירת פונקציית המטרה

שלב 2: שלב 2: קריאת התשובה מתוך הגרף הנתון

המשמעות הגיאומטרית של הדרישה \( f(x) > 0 \) היא למצוא ערכי \(x\) שעבורם גרף הפונקציה נמצא ממש מעל ציר ה-\(x\). נתבונן בסרטוט הפונקציה \(f(x)\) הנתון בשאלה: - הגרף מורכב משתי "קשתות" הפוכות. - בשתי הקשתות הללו, נקודות המקסימום המוחלט של הפונקציה (הנקודות הכי גבוהות) נמצאות בדיוק על ציר ה-\(x\), כלומר שוות ל-0. - שאר חלקי הגרף נמצאים כולם מתחת לציר ה-\(x\), כלומר \( f(x) < 0 \).

מושגים: קריאת גרף והסקה אלגברית, קשר בין אלגברה לגיאומטריה

שלב 3: שלב 3: הסקת המסקנה הסופית

מתוך ההתבוננות בגרף, המסקנה החד-משמעית היא שלכל \(x\) בתחום ההגדרה מתקיים \( f(x) \le 0 \). מכיוון שאין אף נקודה שבה הגרף מטפס מעל לציר ה-\(x\), הרי שלא קיימים ערכי \(x\) שעבורם \( f(x) > 0 \). ולכן, גם לא קיימים ערכי \(x\) המקיימים את האי-שוויון המקורי \( \frac{1}{2}\sin x > \sqrt{\sin x} \). הערה: בתחום ההגדרה שלנו, \(\sin x\) חייב להיות אי-שלילי ומקבל ערכים בין 0 ל-1. עבור כל שבר חיובי בין 0 ל-1, השורש שלו תמיד גדול (או שווה) למספר עצמו. קל וחומר שהוא גדול מהחצי של המספר עצמו! לכן ברור ש- \(\sqrt{\sin x} \ge \frac{1}{2}\sin x\) תמיד, מה שסותר את האי-שוויון שנדרשנו להוכיח.