חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · חקירת פונקציות טריגונומטריות
השאלה
7. נתונות שתי הפונקציות: \( f(x) = \frac{\cos x}{\cos 2x} \) , \( g(x) = \frac{\sin x}{\sin 2x} \) א. מצא בתחום \( 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \): (1). תחום ההגדרה של שתי הפונקציות. (2). האסימפטוטות המאונכות לציר ה-x (אם יש כאלה). ב. לפניך הגרפים של שתי הפונקציות בתחום \( 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \): (1). התאם בין כל משוואת פונקציה לגרף המתאים עבורה. נמק בחירתך. (2). כמה פתרונות למשוואה \( f(x) = |g(x)| \)? ג. מגדירים פונקציה חדשה \( h(x) = f(-x) + g(-x) \). מצא בתחום \( -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \): (1). תחום ההגדרה של הפונקציה והאסימפטוטות המאונכות לציר ה-x. (2). הוכח כי הפונקציה זוגית. (3). שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
הטיפ של עובד
נקודת אי-הגדרה אינה בהכרח אסימפטוטה: כאשר המכנה מתאפס נבדוק גם את המונה! בפונקציה \( g(x) \), ב-\( x=0 \) גם המונה וגם המכנה מתאפסים. פישוט מהיר בעזרת זווית כפולה (\( \sin 2x = 2\sin x \cos x \)) חושף מיד שמדובר בחור (נקודת אי-רציפות סליקה) ולא באסימפטוטה אנכית.
ערך מוחלט מיותר? כששואלים אתכם על פתרון משוואה הכוללת ערך מוחלט, כמו \( f(x) = |g(x)| \), כדאי קודם לבדוק את תחומי החיוביות. בתחום הנתון מתברר ש-\( g(x) \) תמיד חיובית, ולכן הערך המוחלט פשוט נעלם!
פונקציה זוגית כידידה: סעיף קלאסי שמטרתו לחסוך לכם עבודה. ברגע שהוכחתם ש-\( h(x) \) זוגית, אין צורך לחקור את התחום השלילי מחדש - פשוט חוקרים את התחום החיובי, ומשקפים את השרטוט ביחס לציר ה-y (כמו מראה).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': תחומי הגדרה ואסימפטוטות
עבור הפונקציה \( f(x) \): המכנה חייב להיות שונה מאפס: \( \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k \) בתחום הנתון \( 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \), הערך הבעייתי היחיד הוא עבור \( k=0 \), כלומר \( x = \frac{\pi}{4} \). נבדוק את המונה ב-\( x = \frac{\pi}{4} \): \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0 \). מכיוון שהמונה אינו אפס והמכנה מתאפס, יש כאן אסימפטוטה. תחום הגדרה \( f(x) \): \( 0 \le x < \frac{\pi}{4} \) או \( \frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{2} \) אסימפטוטה אנכית \( f(x) \): \( x = \frac{\pi}{4} \) עבור הפונקציה \( g(x) \): נפשט תחילה את הפונקציה בעזרת הזהות \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \): \( g(x) = \frac{\sin x}{\sin 2x} = \frac{\sin x}{2\sin x \cos x} \) תחום ההגדרה דורש \( \sin 2x \neq 0 \), כלומר \( 2x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{2} k \). בתחום הנתון \( 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \), הפונקציה אינה מוגדרת בקצוות: \( x=0 \) ו-\( x=\frac{\pi}{2} \). נבדוק מה קורה בנקודות אלו: ב-\( x=0 \): נצמצם את \( \sin x \) (תחת ההנחה \( x \neq 0 \)) ונקבל \( g(x) = \frac{1}{2\cos x} \). כש-\( x \to 0 \), הפונקציה שואפת ל-\( \frac{1}{2\cos 0} = 0.5 \). מדובר בחור ולא באסימפטוטה! ב-\( x=\frac{\pi}{2} \): לאחר הפישוט המכנה הוא \( 2\cos x \). כש-\( x \to \frac{\pi}{2} \), \( \cos x \to 0 \) והביטוי \( \frac{1}{2\cos x} \) שואף לאינסוף. זו אסימפטוטה אנכית. תחום הגדרה \( g(x) \): \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) אסימפטוטה אנכית \( g(x) \): \( x = \frac{\pi}{2} \)
מושגים: חקירת פונקציות טריגונומטריות, נקודות אי-רציפות סליקות (חורים)
שלב 2: סעיף ב': התאמת גרפים ופתרון משוואה
ב(1): התאמת הגרפים גרף (I): מציג פונקציה שמתחילה בחור על ציר ה-y (\( x=0 \)) ובעלת אסימפטוטה בקצה התחום. זה מתאים לחלוטין למאפיינים של \( g(x) \). גרף (II): מציג פונקציה שמוגדרת ב-\( x=0 \) (חותכת את ציר ה-y, \( f(0)=1 \)), יש לה אסימפטוטה אנכית באמצע התחום, וחותכת את ציר ה-x בקצה התחום (\( f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\pi/2)}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0 \)). זה מתאים לחלוטין ל-\( f(x) \). ב(2): מספר הפתרונות למשוואה \( f(x) = |g(x)| \) נבדוק את הסימן של \( g(x) \) בתחום ההגדרה \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \): בתחום זה הפונקציה \( g(x) = \frac{1}{2\cos x} \) מקבלת רק ערכים חיוביים (כי הקוסינוס חיובי ברביע הראשון). לכן, ניתן להסיר את הערך המוחלט: \( |g(x)| = g(x) \). נשווה בין הפונקציות: \( f(x) = g(x) \implies \frac{\cos x}{\cos 2x} = \frac{1}{2\cos x} \) נכפול בהצלבה ונשתמש בזהות של זווית כפולה \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \): \( 2\cos^2 x = \cos 2x \) \( 2\cos^2 x = 2\cos^2 x - 1 \) \( 0 = -1 \) קיבלנו פסוק שקר! המשמעות היא שהפונקציות לעולם אינן נחתכות בתחום זה. תשובה: 0 פתרונות.
מושגים: זיהוי והתאמת גרפים לפונקציות, משוואות טריגונומטריות
שלב 3: סעיף ג': חקירת הפונקציה \( h(x) = f(-x) + g(-x) \)
תחילה, נפשט את הפונקציה \( h(x) \) באמצעות תכונות הזוגיות של פונקציות טריגונומטריות הבסיסיות. ידוע כי קוסינוס היא פונקציה זוגית (\( \cos(-x) = \cos x \)) וסינוס היא אי-זוגית (\( \sin(-x) = -\sin x \)): \( f(-x) = \frac{\cos(-x)}{\cos(-2x)} = \frac{\cos x}{\cos 2x} = f(x) \) \( g(-x) = \frac{\sin(-x)}{\sin(-2x)} = \frac{-\sin x}{-\sin 2x} = \frac{\sin x}{\sin 2x} = g(x) \) מסקנה: \( h(x) = f(x) + g(x) \). ג(1) - תחום הגדרה ואסימפטוטות: תחום ההגדרה של סכום פונקציות הוא החיתוך של תחומי ההגדרה שלהן. על סמך סעיף א', בתחום \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \), נפסול את כל הנקודות שמאפסות מכנים: מ-\( f(x) \) נפסול את \( x = \pm \frac{\pi}{4} \). מ-\( g(x) \) נפסול את \( x = 0 \) ואת קצוות התחום \( x = \pm \frac{\pi}{2} \). \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} , x \neq -\frac{\pi}{4}, 0, \frac{\pi}{4} \) אסימפטוטות אנכיות: הנקודות בהן המכנים מתאפסים והמונים לא (מה שמוביל שאיפה לאינסוף). עבור \( x = \pm \frac{\pi}{4} \), הביטוי \( f(x) \) שואף לאינסוף. עבור \( x = \pm \frac{\pi}{2} \), הביטוי \( g(x) \) שואף לאינסוף. הערה: ב-\( x=0 \), מצאנו בסעיף א' ש-\( g(x) \to 0.5 \) ו-\( f(0)=1 \). לכן ב-\( x=0 \) הפונקציה \( h(x) \) שואפת ל-\( 1.5 \), ולכן זהו רק חור. האסימפטוטות המאונכות לציר ה-x: \( x = -\frac{\pi}{2}, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{2} \). ג(2) - הוכחת זוגיות: על מנת להוכיח שפונקציה היא זוגית, יש להראות כי \( h(-x) = h(x) \): \( h(-x) = f(-(-x)) + g(-(-x)) = f(x) + g(x) \) מכיוון שהראנו קודם ש-\( h(x) = f(x) + g(x) \), אזי קיבלנו ישירות ש- \( h(-x) = h(x) \). מ.ש.ל. ג(3) - שרטוט סקיצה של הפונקציה: כדי לשרטט נכון, נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x (\( h(x) = 0 \)): \( \frac{\cos x}{\cos 2x} + \frac{1}{2\cos x} = 0 \implies \frac{2\cos^2 x + \cos 2x}{2\cos x \cos 2x} = 0 \) \( 2\cos^2 x + (2\cos^2 x - 1) = 0 \implies 4\cos^2 x = 1 \implies \cos x = \pm 0.5 \) בתחום הנתון, הפתרונות הם \( x = \pm \frac{\pi}{3} \). סקיצת הפונקציה הזוגית h(x): סימטריה מלאה, חור בראשית ואסימפטוטות מרובות
מושגים: זוגיות פונקציה, סקיצה סימטרית
תשובה סופית
התשובה הסופית: א. (1) תחומי הגדרה: \( f(x): 0 \le x < \frac{\pi}{4} \) או \( \frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{2} \) \( g(x): 0 < x < \frac{\pi}{2} \) א. (2) אסימפטוטות אנכיות (מאונכות לציר ה-x): \( f(x): x = \frac{\pi}{4} \) \( g(x): x = \frac{\pi}{2} \) ב. (1) התאמת גרפים: גרף (II) מתאים ל-\( f(x) \), גרף (I) מתאים ל-\( g(x) \). ב. (2) מספר פתרונות: 0 פתרונות. ג. חקירת הפונקציה החדשה \( h(x) \): (1) תחום הגדרה: \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} , x \neq -\frac{\pi}{4}, 0, \frac{\pi}{4} \) אסימפטוטות אנכיות: \( x = -\frac{\pi}{2}, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{2} \) (2) ו-(3) מופיעים בפתרון המלא.
