בעיות קיצון · שטח טרפז ישר זווית

השאלה

$ ABCD $ טרפז ישר זווית שהיקפו $ 26 $ ס"מ. השוק הארוכה היא $ 10 $ ס"מ. השוק הקצרה מסומנת באות $ X $. א. מה צריך להיות אורך השוק הקצרה ($ X $) כדי ששטח הטרפז יהיה מקסימלי? ב. מצאו את השטח המקסימלי.

הטיפ של עובד

בבעיות קיצון עם היקף של צורות מרובות צלעות, לפעמים כדאי להסתכל על ה"תמונה הגדולה". נוסחת השטח של טרפז דורשת את סכום הבסיסים, ולא את האורך של כל בסיס בנפרד! אם נתון לכם ההיקף הכולל, ושתי השוקיים ידועות לכם (אחת עשר והשנייה איקס), אז תוכלו לבטא את סכום שני הבסיסים יחד בקלות רבה (היקף פחות השוקיים). אין שום צורך להסתבך עם משפט פיתגורס כדי למצוא כל בסיס בנפרד בשלב בניית הפונקציה!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1 - הבעת סכום הבסיסים

היקף של צורה הוא סכום כל צלעותיה. בטרפז שלנו יש ארבע צלעות: - שתי השוקיים הנתונות לנו: $ AD = X $ (השוק הקצרה) ו-$ BC = 10 $ (השוק הארוכה). - שני הבסיסים המקבילים: $ AB $ ו-$ CD $. $ P = AD + BC + AB + CD $ $ 26 = X + 10 + AB + CD $ מטרתנו לחשב את שטח הטרפז. נוסחת שטח טרפז מצריכה את סכום הבסיסים, לכן נבודד את הביטוי $ (AB + CD) $ מהמשוואה: $ AB + CD = 26 - 10 - X $ $ AB + CD = 16 - X $ מצאנו כי סכום שני הבסיסים יחד הוא תמיד: $ 16 - X $.

מושגים: היקף כנתון מקשר, פונקציית מטרה מבוססת סכום

שלב 2: שלב 2 - בניית פונקציית המטרה (שטח הטרפז)

נוסחת שטח טרפז היא מחצית סכום הבסיסים כפול הגובה: $ S = \frac{(\text{סכום הבסיסים}) \cdot h}{2} $ בטרפז ישר זווית, השוק המאונכת לבסיסים (השוק הקצרה $ AD $) היא בעצם גובה הטרפז. לכן במקרה שלנו הגובה הוא $ h = X $. נציב את הנתונים כדי לבנות את הפונקציה $ S(X) $ שתייצג את השטח: $ S(X) = \frac{(16 - X) \cdot X}{2} $ נפתח סוגריים ונסדר את הפונקציה לקראת גזירה: $ S(X) = \frac{16X - X^2}{2} $ $ S(X) = 8X - 0.5X^2 $

מושגים: שטח טרפז

שלב 3: סעיף א' (שלב 3) - גזירה ומציאת אורך X לשטח מקסימלי

כדי למצוא את ה-X שנותן שטח מקסימלי, נגזור את פונקציית המטרה $ S(X) $ ונשווה לאפס: $ S'(X) = 8 - 0.5 \cdot 2X $ $ S'(X) = 8 - X $ נשווה את הנגזרת לאפס: $ 8 - X = 0 \quad \Rightarrow \quad X = 8 $ נוודא שמדובר בנקודת מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה. הנגזרת הראשונה היא קו ישר, ולכן גזירה נוספת שלה תיתן לנו מספר קבוע: $ S''(X) = -1 $ מכיוון שהנגזרת השנייה שלילית ($ S'' < 0 $), הנקודה שמצאנו היא אכן נקודת מקסימום. אורך השוק הקצרה הנדרש עבור שטח מקסימלי הוא 8 ס"מ.

מושגים: פונקציית מטרה מבוססת סכום

שלב 4: סעיף ב' (שלב 4) - מציאת השטח המקסימלי

לאחר שמצאנו את ערכו של $ X $ שעבורו השטח מקסימלי, נציב אותו בחזרה בפונקציית השטח $ S(X) $ שמצאנו בשלב 2 כדי לחשב את הערך המקסימלי עצמו: $ S(X) = 8X - 0.5X^2 $ נציב $ X = 8 $: $ S(8) = 8(8) - 0.5 \cdot 8^2 $ $ S(8) = 64 - 0.5 \cdot 64 $ $ S(8) = 64 - 32 = 32 $ שטח הטרפז המקסימלי הוא 32 סמ"ר.

מושגים: שטח טרפז

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. אורך השוק הקצרה לשטח מקסימלי: $ X = 8 $ ס"מ ב. השטח המקסימלי: $ 32 $ סמ"ר

חזרה לקטלוג

#111בעיות קיצון

שטח טרפז ישר זווית

קראו את השאלה

שאלה

$ABCD$ טרפז ישר זווית שהיקפו $26$ ס"מ. השוק הארוכה היא $10$ ס"מ. השוק הקצרה מסומנת באות $X$ .

א. מה צריך להיות אורך השוק הקצרה ( $X$ ) כדי ששטח הטרפז יהיה מקסימלי? ב. מצאו את השטח המקסימלי.