בסרטוט שלפניכם מתואר חלק מגרף הפונקציה \( f(x) = 1 - \frac{2}{x} \) בתחום \( x > 0 \). גרף הפונקציה \( f(x) \) חותך את ציר ה-x בנקודה \( A \). נקודה \( B \) נמצאת על גרף הפונקציה \( f(x) \), ברביע הראשון, משמאל לישר \( x = 5 \). מן הנקודה \( B \) מעבירים ישר המקביל לציר ה-x וחותך את הישר \( x = 5 \) בנקודה \( C \). נתון: \( D(5, 0) \). א. מצאו את שיעורי הנקודה \( A \). נסמן את שיעור ה-x של הנקודה \( B \) ב-\( t \). ב. הביעו באמצעות \( t \) את שיעורי הנקודות \( B \) ו-\( C \). ג. מצאו את שיעורי הנקודה \( B \) שבעבורה שטח הטרפז \( ABCD \) הוא מקסימלי. ד. הראו כי השטח המקסימלי של הטרפז \( ABCD \) הוא \( 1 \).
כדי לבנות פונקציית מטרה יעילה לשטח, חשוב להבין איזו צורה יש לנו כאן. \( AD \) מונח על ציר ה-x, ו-\( BC \) מקביל לו - ולכן זה טרפז. בנוסף, הקטע \( CD \) נמצא על הישר האנכי \( x=5 \), ולכן מאונך לציר ה-x, מה שהופך את הצורה לטרפז ישר זווית! הגובה שלו הוא פשוט המרחק \( CD \), שהוא בעצם ערך ה-y של הנקודות B ו-C. היזהרו כשאתם מחשבים את אורך הבסיס \( BC \): הנקודה הימנית היא C (שה-x שלה 5) והשמאלית היא B (שה-x שלה \( t \)). לכן, האורך הוא \( 5 - t \) (ולא \( t \) לבדו).
הנקודה \( A \) היא נקודת החיתוך של הפונקציה \( f(x) \) עם ציר ה-x. נציב \( f(x) = 0 \): \( 1 - \frac{2}{x} = 0 \) \( 1 = \frac{2}{x} \) \( x = 2 \) שיעורי הנקודה הם: \( A(2, 0) \).
מושגים: נקודות חיתוך עם הצירים
הנקודה B: נתון כי שיעור ה-x שלה הוא \( t \), והיא מונחת על גרף הפונקציה \( f(x) \). לכן, ערך ה-y שלה מתקבל על ידי הצבת \( t \) בפונקציה: \( B\left(t, 1 - \frac{2}{t}\right) \) הנקודה C: הישר \( BC \) מקביל לציר ה-x (ישר אופקי), לכן לנקודה C יש אותו שיעור y כמו לנקודה B. כלומר, \( y_C = 1 - \frac{2}{t} \). בנוסף, הנקודה C מונחת על הישר \( x = 5 \), ולכן \( x_C = 5 \). שיעורי הנקודות הם: \( B\left(t, 1 - \frac{2}{t}\right) \) ו- \( C\left(5, 1 - \frac{2}{t}\right) \).
מושגים: הרכבת צורות במערכת הצירים
מכיוון ש-\( AD \) נמצא על ציר x ו-\( BC \) מקביל אליו, המרובע הוא טרפז. הנקודות C ו-D נמצאות שתיהן על הישר האנכי \( x = 5 \), ולכן הזווית ב-D היא ישרה. קיבלנו טרפז ישר זווית. נחשב את אורך הצלעות (הבסיסים והגובה): - בסיס תחתון \( AD \): אורך אופקי. \( AD = x_D - x_A = 5 - 2 = 3 \). - בסיס עליון \( BC \): אורך אופקי. \( BC = x_C - x_B = 5 - t \). - גובה הטרפז \( CD \): אורך אנכי. \( CD = y_C - y_D = \left(1 - \frac{2}{t}\right) - 0 = 1 - \frac{2}{t} \). נציב בנוסחת שטח טרפז \( S = \frac{(BC + AD) \cdot h}{2} \): \( S(t) = \frac{(5 - t + 3) \cdot \left(1 - \frac{2}{t}\right)}{2} \) \( S(t) = \frac{1}{2} \cdot (8 - t) \cdot \left(1 - \frac{2}{t}\right) \) נפתח את הסוגריים כדי שיהיה נוח לגזור: \( S(t) = \frac{1}{2} \cdot \left( 8 - \frac{16}{t} - t + \frac{2t}{t} \right) \) \( S(t) = \frac{1}{2} \cdot \left( 8 - \frac{16}{t} - t + 2 \right) \) \( S(t) = \frac{1}{2} \cdot \left( 10 - t - \frac{16}{t} \right) \) \( S(t) = 5 - 0.5t - \frac{8}{t} \)
מושגים: חישובי אורכים
נגזור את פונקציית השטח. נזכור שהנגזרת של \( -\frac{8}{t} \) היא \( +\frac{8}{t^2} \): \( S'(t) = -0.5 - 8 \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) \) \( S'(t) = -0.5 + \frac{8}{t^2} \) נשווה את הנגזרת לאפס: \( \frac{8}{t^2} = 0.5 \) \( 0.5t^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad t^2 = 16 \) נקבל שתי אפשרויות ל-\( t \): \( t = 4 \) או \( t = -4 \). מכיוון שנתון שהנקודה \( B \) נמצאת ברביע הראשון בין הנקודות A (שבה \( x=2 \)) ל-x=5, בהכרח \( t > 0 \), ולכן \( t = 4 \). נוודא בעזרת נגזרת שנייה שמדובר במקסימום: \( S''(t) = 8 \cdot (-2) \cdot t^{-3} = -\frac{16}{t^3} \) נציב \( t=4 \): \( S''(4) = -\frac{16}{4^3} = -\frac{16}{64} < 0 \) אכן מתקבל מקסימום. נמצא את שיעורי הנקודה B על ידי הצבת \( t=4 \) בביטוי שמצאנו קודם לכן: \( y_B = 1 - \frac{2}{4} = 1 - 0.5 = 0.5 \) שיעורי הנקודה שעבורה השטח מקסימלי הם: \( B(4, 0.5) \).
מושגים: גזירת פונקציית מנה/חזקה שלילית
כדי להראות שהשטח המקסימלי הוא 1, פשוט נציב את ה-t שמצאנו (\( t = 4 \)) בפונקציית השטח \( S(t) \) שבנינו בשלב הראשון: \( S(t) = 5 - 0.5t - \frac{8}{t} \) נציב \( t=4 \): \( S(4) = 5 - 0.5(4) - \frac{8}{4} \) \( S(4) = 5 - 2 - 2 \) \( S(4) = 1 \) הוכחנו בהצלחה שהשטח המקסימלי של הטרפז הוא \( 1 \).
מושגים: שטח טרפז
התשובה הסופית: א. שיעורי הנקודה A: \( A(2, 0) \) ב. שיעורי הנקודות B, C: \( B\left(t, 1 - \frac{2}{t}\right) \) | \( C\left(5, 1 - \frac{2}{t}\right) \) ג. שיעורי הנקודה B לשטח מקסימלי: \( B(4, 0.5) \) ד. השטח המקסימלי: \( 1 \)
בסרטוט שלפניכם מתואר חלק מגרף הפונקציה f(x)=1−x2 בתחום x>0. גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה-x בנקודה A. נקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x), ברביע הראשון, משמאל לישר x=5. מן הנקודה B מעבירים ישר המקביל לציר ה-x וחותך את הישר x=5 בנקודה C. נתון: D(5,0).
א. מצאו את שיעורי הנקודה A. נסמן את שיעור ה-x של הנקודה B ב-t. ב. הביעו באמצעות t את שיעורי הנקודות B ו-C. ג. מצאו את שיעורי הנקודה B שבעבורה שטח הטרפז ABCD הוא מקסימלי. ד. הראו כי השטח המקסימלי של הטרפז ABCD הוא 1.
