חשבון דיפרנציאלי · משוואת משיק לפולינום עם פרמטרים
השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x³ + ax² - 2x + 1, כאשר a הוא פרמטר. א. מצא את הנגזרת של הפונקציה. ב. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x = 1, כאשר a = 3. ג. אם משוואת המשיק בנקודה x = 1 היא y = 7x + b, מצא את הערך של הפרמטר a.
הטיפ של עובד
כדי למצוא משוואת משיק עם פרמטר, התחל בנגזרת, חשב את השיפוע בנקודת ההשקה, ואז השתמש בעובדות נוספות לפתרון הפרמטר.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: חישוב הנגזרת
נחשב את f'(x) באמצעות כללי הנגזרות: f'(x) = 3x^2 + 2ax - 2
מושגים: נגזרת של פולינום
שלב 2: חישוב השיפוע בנקודת ההשקה (סעיף ב)
כאשר a = 3, נחשב את f'(1) לקבלת השיפוע: f'(1) = 3(1)^2 + 2(3)(1) - 2 = 3 + 6 - 2 = 7 השיפוע של המשיק הוא m = 7.
מושגים: שיפוע משיק, הצבה בנגזרת
שלב 3: מציאת הנקודה על הגרף
חשב את f(1) כאשר a = 3: f(1) = 1 + 3 - 2 + 1 = 3 הנקודה היא (1, 3).
מושגים: נקודה על הגרף
שלב 4: כתיבת משוואת המשיק (סעיף ב)
משתמשים בנוסחה y - y₀ = m(x - x₀): y - 3 = 7(x - 1) y = 7x - 4
מושגים: משוואת ישר
שלב 5: מציאת הפרמטר a (סעיף ג)
נתון שמשוואת המשיק היא y = 7x + b. השיפוע הוא 7, לכן: f'(1) = 7 3 + 2a - 2 = 7 2a = 6 a = 3
מושגים: פתרון משוואה עם פרמטר
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: א. f'(x) = 3x² + 2ax - 2 ב. משוואת המשיק: y = 7x - 4 ג. a = 3
