חזרה לקטלוג
#300חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
קיום משיק וניתוח נגזרת, פתרון אלגברי וגרפיקראו את השאלה
שאלה
נתונה הפונקציה הבאה:
האם ייתכן שהישר ( פרמטר) משיק לגרף הפונקציה ? נמקו את קביעתכם.
משיק לפונקציהחקירת פונקציהקריאת גרף נגזרתמשוואה אי-רציונלית
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · קיום משיק וניתוח נגזרת, פתרון אלגברי וגרפי
השאלה
נתונה הפונקציה הבאה: \[ f(x) = 3x + 2\sqrt{x^2 - 2x} \] האם ייתכן שהישר \( y = 4x + c \) (\( c \) פרמטר) משיק לגרף הפונקציה \( f(x) \)? נמקו את קביעתכם.
הטיפ של עובד
כשאתם קוראים את המילה "משיק", המוח שלכם חייב לתרגם אותה מיד למילה "נגזרת"! הנגזרת מבטאת את שיפוע המשיק בכל נקודה. הישר שלנו הוא \( y = 4x + c \), כלומר השיפוע שלו הוא 4. לכן, השאלה "האם הישר משיק?" מתורגמת אלגברית לשאלה הפשוטה: "האם קיימת נקודה שבה \( f'(x) = 4 \)?". אפשר לפתור את זה כמו טרקטור ולגזור ולהשוות ל-4 (תקבלו משוואה אי-רציונלית חסרת פתרון), אבל אם זה מופיע בסעיף אחרון של חקירת פונקציה, כנראה שכבר שרטטתם את הנגזרת! אם תסתכלו על אסימפטוטות הנגזרת, תוכלו לראות מיד בעיניים האם גרף הנגזרת בכלל מסוגל להגיע לגובה 4, ולחסוך המון זמן ועבודה שחורה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הבנת משמעות השאלה
ישר שמשוואתו היא \( y = 4x + c \) הוא ישר בעל שיפוע קבוע \( m = 4 \) (הפרמטר \( c \) אינו משפיע על השיפוע אלא רק על גובה הישר). כדי שישר זה יהיה משיק לפונקציה \( f(x) \), חייבת להיות נקודה כלשהי על גרף הפונקציה שבה נגזרת הפונקציה שווה לשיפוע המשיק, כלומר: \( f'(x) = 4 \). אנו נבדוק קיום פתרון בשתי דרכים: אלגברית וגרפית.
מושגים: משמעות גיאומטרית של הנגזרת
שלב 2: דרך א': פתרון אלגברי (משוואת הנגזרת)
נגזור את הפונקציה \( f(x) \): \[ f'(x) = 3 + 2 \cdot \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \] נצמצם את ה-2 ונשווה את הנגזרת לשיפוע המבוקש (4): \[ 3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} = 4 \] נעביר את 3 אגף: \[ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} = 1 \] נכפול במכנה (בתנאי ש- \( x^2 - 2x > 0 \)): \[ 2x - 2 = \sqrt{x^2 - 2x} \] נעלה את שני אגפי המשוואה בריבוע כדי להיפטר מהשורש (נזכור שפעולה זו עלולה להוסיף פתרונות זרים שיש לבדוק): \[ (2x - 2)^2 = x^2 - 2x \] \[ 4x^2 - 8x + 4 = x^2 - 2x \] נעביר הכל לאגף שמאל לקבלת משוואה ריבועית: \[ 3x^2 - 6x + 4 = 0 \] נבדוק אם למשוואה זו יש פתרונות על ידי חישוב הדיסקרימיננטה (דלתא): \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 36 - 48 = -12 \] מכיוון ש- \( \Delta < 0 \), למשוואה אין פתרון ממשי. כלומר, לא קיימת שום נקודה שבה \( f'(x) = 4 \), ולכן הישר אינו יכול להשיק לפונקציה.
מושגים: משוואות אי-רציונליות ודלתא שלילית
שלב 3: דרך ב': פתרון גרפי (הדרך המהירה והאלגנטית)
היות ובדרך כלל סעיף כזה מגיע לאחר חקירה מלאה, אנו יכולים להיעזר בגרף פונקציית הנגזרת \( f'(x) \). תחום ההגדרה של הפונקציה הוא \( x < 0 \) או \( x > 2 \). לפונקציית הנגזרת יש שתי אסימפטוטות אופקיות (ניתן לחשב על ידי השאפת \( x \to \pm\infty \)): • עבור \( x \to \infty \), הנגזרת שואפת ל- \( y = 5 \). • עבור \( x \to -\infty \), הנגזרת שואפת ל- \( y = 1 \). כפי שניתן לראות בבירור מהשרטוט: • עבור \( x > 2 \), גרף הנגזרת נמצא כולו מעל האסימפטוטה \( y = 5 \). • עבור \( x < 0 \), גרף הנגזרת נמצא כולו מתחת לאסימפטוטה \( y = 1 \). הערך של שיפוע המשיק שחיפשנו הוא \( f'(x) = 4 \) (הקו הכתום המקווקו בשרטוט). הקו \( y=4 \) עובר "באוויר" בין שתי האסימפטוטות, וגרף הנגזרת מעולם לא חותך אותו או נוגע בו. הוכחה ויזואלית ופשוטה לכך שלמשוואה \( f'(x) = 4 \) אין פתרון, ולכן המשיק הנתון אינו אפשרי.
מושגים: פתרון גרפי של משוואות
תשובה סופית
התשובה הסופית: לא. לא ייתכן שהישר משיק לפונקציה (לא קיימת נקודה על הפונקציה שבה שיפוע המשיק הוא 4).