חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · קיום משיק וניתוח נגזרת, פתרון גרפי

השאלה

בשרטוט שלפניכם מוצג גרף פונקציית הנגזרת $ f'(x) $. לגרף פונקציית הנגזרת יש שתי אסימפטוטות אופקיות: $ y = 1 $ ו- $ y = 5 $, ואסימפטוטות אנכיות ב- $ x = 0 $ וב- $ x = 2 $. האם ייתכן שהישר $ y = 4x + c $ ($ c $ פרמטר) משיק לגרף הפונקציה המקורית $ f(x) $? נמקו את קביעתכם.

הטיפ של עובד

כשהנתון היחיד שלכם הוא גרף הנגזרת, אל תחפשו לבנות משוואות אלגבריות! תזכרו את כלל הברזל: כל נקודה על גרף הנגזרת (כלומר, ערך ה-y שלו) מייצגת את שיפוע המשיק לפונקציה המקורית באותו איקס. הישר הנתון בשאלה הוא $ y = 4x + c $, כלומר השיפוע שלו הוא בדיוק 4. לכן, השאלה "האם הישר משיק?" מתורגמת ויזואלית לשאלה הפשוטה: "האם גרף הנגזרת מגיע אי פעם לגובה $ y = 4 $?". פשוט תעבירו קו אופקי דמיוני בגובה 4 ותראו אם הוא חותך את הגרף הכחול!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב א': תרגום השאלה הגיאומטרית לתנאי על הנגזרת

משוואת הישר הנתון היא $ y = 4x + c $. ישר זה מתאפיין בשיפוע קבוע: $ m = 4 $ (הפרמטר $ c $ אינו משפיע על השיפוע אלא רק על גובה הישר). על מנת שישר יהיה משיק לגרף הפונקציה $ f(x) $, שיפועו חייב להיות שווה לנגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה. כלומר, אנו מחפשים האם קיים פתרון למשוואה: \[ f'(x) = 4 \]

מושגים: הקשר בין משוואת ישר למשיק

שלב 2: שלב ב': ניתוח גרף הנגזרת

במקום לפתור משוואה אלגברית, נביט בגרף פונקציית הנגזרת הנתון לנו. הגרף מחולק לשני ענפים המופרדים על ידי אסימפטוטות: • הענף השמאלי ($ x < 0 $): גרף הנגזרת עולה מלמטה ושואף לאסימפטוטה האופקית $ y = 1 $. כלומר, כל הערכים בענף זה מקיימים $ f'(x) < 1 $. • הענף הימני ($ x > 2 $): גרף הנגזרת יורד מלמעלה ושואף לאסימפטוטה האופקית $ y = 5 $. כלומר, כל הערכים בענף זה מקיימים $ f'(x) > 5 $.

מושגים: קריאת גרף נגזרת

שלב 3: שלב ג': מסקנה

הערך של שיפוע המשיק שחיפשנו הוא $ f'(x) = 4 $ (מיוצג על ידי הקו הכתום המקווקו בשרטוט לעיל). הקו $ y=4 $ עובר ב"שטח הריק" שבין שתי האסימפטוטות, וגרף הנגזרת הכחול מעולם לא מגיע אליו. מכיוון שהפונקציה $ f'(x) $ אינה מקבלת לעולם את הערך 4, לא קיימת נקודה על הפונקציה המקורית שבה שיפוע המשיק הוא 4. מכאן, הישר $ y = 4x + c $ לא יכול להיות משיק לגרף הפונקציה.

מושגים: הסקת מסקנות מאסימפטוטות

תשובה סופית

התשובה הסופית: לא. לא ייתכן שהישר משיק לפונקציה $ f(x) $, מכיוון שלא קיימת נקודה שבה ערך הנגזרת (שיפוע המשיק) הוא 4.

חזרה לקטלוג

#301חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

קיום משיק וניתוח נגזרת, פתרון גרפי

קראו את השאלה

שאלה

בשרטוט שלפניכם מוצג גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

לגרף פונקציית הנגזרת יש שתי אסימפטוטות אופקיות: $y = 1$ ו- $y = 5$ , ואסימפטוטות אנכיות ב- $x = 0$ וב- $x = 2$ .

האם ייתכן שהישר $y = 4x + c$ ( $c$ פרמטר) משיק לגרף הפונקציה המקורית $f(x)$ ? נמקו את קביעתכם.

משיק לפונקציהחקירת פונקציהקריאת גרף נגזרתאסימפטוטות