אלגברה · מערכת משוואות עם שברים

השאלה

פתרו את מערכת המשוואות הבאה: \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{x}{2} + \frac{3}{y} = \frac{3}{2} \end{cases}

הטיפ של עובד

לפני שצוללים לפתרון, תמיד כדאי למצוא מכנה משותף ולהכפיל בו כדי להעיף את השברים. זה הופך משוואות מורכבות למשוואות פשוטות בהרבה!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1 - פישוט המשוואות

נכפול את המשוואות במכנה המשותף שלהן כדי להיפטר מהשברים: \frac{2}{x} + \frac{y}{3} = 3 \implies \frac{6 + xy}{3x} = 3 \implies 6 + xy = 9x \implies xy = 9x - 6 \frac{x}{2} + \frac{3}{y} = \frac{3}{2} \implies \frac{xy + 6}{2y} = \frac{3}{2} \implies xy + 6 = 3y \implies xy = 3y - 6

מושגים: מכנה משותף

שלב 2: שלב 2 - ביטוי נעלם אחד באמצעות השני

מכיוון ששני הביטויים שווים ל-xy, נשווה ביניהם: 9x - 6 = 3y - 6 נצמצם את 6 משני האגפים ונקבל: 9x = 3y \implies y = 3x

מושגים: הצבה

שלב 3: שלב 3 - הצבה ופתרון משוואה ריבועית

נציב את y=3x במשוואה הראשונה שמצאנו (xy = 9x - 6): x(3x) = 9x - 6 \implies 3x^2 = 9x - 6 נעביר הכל לאגף אחד ונחלק ב-3: 3x^2 - 9x + 6 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 נפרק לפי טרינום: (x-1)(x-2) = 0 הפתרונות עבור x הם x=1 או x=2. נמצא את ה-y המתאים לכל אחד: x=1 \implies y=3(1)=3 \\ x=2 \implies y=3(2)=6

מושגים: משוואה ריבועית

תשובות סופיות

התשובות הסופיות: פתרונות המערכת הם: (1, 3) , (2, 6)

←חזרה לקטלוג

#117אלגברה

מערכת משוואות עם שברים

📖קראו את השאלה

שאלה

פתרו את מערכת המשוואות הבאה:

\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{x}{2} + \frac{3}{y} = \frac{3}{2} \end{cases}