חדו"א · נגזרת שנייה

שלב 1: מציאת הסימן של \(f''(x)\)

נביט בגרף הפונקציה \(f'(x)\). הגרף אמנם מצויר כולו מתחת לציר ה-\(x\) (כלומר הערכים של \(f'(x)\) הם שליליים), אך המגמה שלו היא עלייה משמאל לימין. מכיוון שהפונקציה \(f'(x)\) עולה בתחום \(x > 0\), הנגזרת שלה (שהיא הפונקציה \(f''(x)\)) חייבת להיות חיובית. \( f'(x) \text{ is increasing} \implies f''(x) > 0 \) לכן, הסימן של \(f''(x)\) הוא (+).

מושגים: הקשר בין פונקציה לנגזרתה, הפרדה בין ערך למגמה

שלב 2: מציאת הסימן של \(g''(x)\)

נביט בגרף הפונקציה \(g'(x)\). הגרף מתחיל מעל ציר ה-\(x\) ויורד אל מתחתיו, אך המגמה שלו לאורך כל התחום היא ירידה. מכיוון שהפונקציה \(g'(x)\) יורדת בתחום \(x > 0\), הנגזרת שלה (שהיא הפונקציה \(g''(x)\)) חייבת להיות שלילית. \( g'(x) \text{ is decreasing} \implies g''(x) < 0 \) לכן, הסימן של \(g''(x)\) הוא (-).

שלב 3: סימן המכפלה

כעת נכפול את הסימנים שמצאנו: \( g''(x) \cdot f''(x) = (-) \cdot (+) = (-) \) מכפלה של גודל חיובי בגודל שלילי נותנת תוצאה שלילית.