גאומטריה · משולש ישר זווית

השאלה

משולש $ \Delta ABC $ ישר זווית ($ \angle BAC = 90^\circ $). הנקודה $ D $ נמצאת על הניצב $ AC $ ונקודה $ E $ נמצאת על היתר $ BC $, כך שהקטע $ ED $ חוצה את זווית $ \angle AEC $ כמתואר בשרטוט. נתון: $ BE = CE $. א. הוכיחו: $ DE \parallel AB $. ב. נתון: $ \angle AED = 2 \cdot \angle C $. כמו כן, $ DE = a $. הביעו באמצעות $ a $ את שטח משולש $ \Delta ABC $.

הטיפ של עובד

משפט הזהב במשולש ישר זווית: "התיכון ליתר שווה למחצית היתר". ברגע שנתון לכם שהנקודה ממוקמת בדיוק באמצע היתר (כמו הנקודה $ E $), ציירו את התיכון ותקבלו מיד שני משולשים שווי-שוקיים! מרגע זה, הפעילו את תכונות המשולש שווה השוקיים (חוצה זווית שהוא גם גובה) והדרך לפתרון תהיה חלקה.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א'

נתון שמשולש $ \Delta ABC $ הוא ישר זווית ($ \angle BAC = 90^\circ $) וכי $ BE = CE $, כלומר $ E $ היא אמצע היתר $ BC $. במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן מתקיים $ AE = CE $ ($ = BE $). מכאן נובע שמשולש $ \Delta AEC $ הוא משולש שווה שוקיים. נתון כי $ ED $ חוצה את זווית הראש $ \angle AEC $. במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה לבסיס, ולכן $ ED \perp AC $. נתון לנו גם כי הניצב $ AB \perp AC $. שני קטעים ($ AB $ ו- $ DE $) המאונכים לאותו ישר ($ AC $) מקבילים זה לזה, כלומר $ DE \parallel AB $. מש"ל.

מושגים: תיכון ליתר במשולש ישר זווית, תכונות משולש שווה שוקיים

שלב 2: סעיף ב'

בסעיף א' הוכחנו כי $ ED \perp AC $, ולכן משולש $ \Delta EDC $ הוא משולש ישר זווית ($ \angle EDC = 90^\circ $). במשולש ישר זווית סכום הזוויות החדות הוא $ 90^\circ $, לכן נבטא את זווית $ \angle CED $: $ \angle CED = 90^\circ - \angle C $. נתון כי $ ED $ חוצה את זווית $ \angle AEC $, אז מתקיים $ \angle AED = \angle CED = 90^\circ - \angle C $. נתון גם כי $ \angle AED = 2 \cdot \angle C $. נשווה בין הביטויים: $ 2 \cdot \angle C = 90^\circ - \angle C $ מה שמוביל ל- $ 3 \cdot \angle C = 90^\circ \implies \angle C = 30^\circ $. קיבלנו שמשולש $ \Delta ABC $ הוא משולש מסוג $ 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ $ ("משולש זהב"). במשולש ישר זווית $ \Delta EDC $, נמצא את הניצב $ DC $ בעזרת טריגונומטריה: $ \tan(\angle C) = \frac{DE}{DC} \implies \tan(30^\circ) = \frac{a}{DC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{DC} \implies DC = a\sqrt{3} $. כיוון ש- $ DE \parallel AB $ ו- $ E $ היא אמצע $ BC $, הקטע $ DE $ הוא קטע אמצעים במשולש $ \Delta ABC $, ולכן $ D $ היא אמצע $ AC $ ו- $ DE $ שווה למחצית $ AB $. מכאן: $ AC = 2 \cdot DC = 2a\sqrt{3} $ ו- $ AB = 2 \cdot DE = 2a $. שטח משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים: $ S_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{2a \cdot 2a\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}a^2 $.

מושגים: קטע אמצעים, משולש "זהב" ($ 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ $)

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. ההוכחה נובעת מכך ש- $ ED $ הוא גובה במשולש שווה שוקיים $ \Delta AEC $ ולכן מאונך ל- $ AC $, בדומה לניצב $ AB $. ב. $ S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{3}a^2 $

חזרה לקטלוג

#134גאומטריה

משולש ישר זווית

קראו את השאלה

שאלה

משולש $\Delta ABC$ ישר זווית ( $\angle BAC = 90^\circ$ ). הנקודה $D$ נמצאת על הניצב $AC$ ונקודה $E$ נמצאת על היתר $BC$ , כך שהקטע $ED$ חוצה את זווית $\angle AEC$ כמתואר בשרטוט. נתון: $BE = CE$ .

א. הוכיחו: $DE \parallel AB$ . ב. נתון: $\angle AED = 2 \cdot \angle C$ . כמו כן, $DE = a$ . הביעו באמצעות $a$ את שטח משולש $\Delta ABC$ .