גיאומטריה · משולש ישר זווית

השאלה

במשולש ישר-זווית $ ABC $ $ (\measuredangle ACB = 90^\circ) $. נתון כי $ CD $ הוא התיכון ליתר $ AB $. כמו כן, ידוע כי: $ \measuredangle EDC = 90^\circ $ , $ ED = EB $. א. הוכח כי: $ \measuredangle ACD = 2 \cdot \measuredangle BDE $. ב. חשב את הזוויות החדות במשולש $ ABC $. ג. אם נתון ש- $ BC = m $, הבע באמצעות $ m $ את אורך הקטע $ BE $.

הטיפ של עובד

הסוד של התיכון ליתר! ברגע שנתון לכם תיכון ליתר במשולש ישר-זווית, אוטומטית קיבלתם שני משולשים שווי שוקיים (כי התיכון שווה למחצית היתר, אז $CD = BD = AD$). סמנו את אחת מזוויות הבסיס ב-$\alpha$ (למשל $\measuredangle B = \alpha$) והתחילו לטייל עם הזוויות. משפט זווית חיצונית למשולש יעשה פה קסמים ויקשר בין המשולשים השונים. בנוסף, בסעיף ג', כשאתם מגלים זווית של $30^\circ$ במשולש ישר זווית, זכרו את הכלל: הניצב מול זווית $30^\circ$ שווה למחצית היתר. זה יפתור לכם את התרגיל בשנייה בלי טריגונומטריה!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סימון זוויות ושימוש בתיכון ליתר

נסמן את זווית הבסיס: $ \measuredangle B = \alpha $. נתון כי CD הוא תיכון ליתר AB במשולש ישר זווית ABC. על פי המשפט, התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן: $ CD = AD = BD $. מכאן נובע שמשולש CDB הוא משולש שווה שוקיים (CD = BD). לכן זוויות הבסיס שלו שוות: $ \measuredangle DCB = \measuredangle B = \alpha $ בנוסף, נתון כי ED = EB. לכן גם משולש EDB הוא שווה שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות: $ \measuredangle BDE = \measuredangle B = \alpha $

מושגים: תיכון ליתר במשולש ישר זווית

שלב 2: הוכחת סעיף א' (מציאת הקשר)

נתבונן במשולש הגדול ABC. סכום הזוויות החדות הוא 90 מעלות, לכן: $ \measuredangle A = 90^\circ - \alpha $ מכיוון ש-CD = AD, גם משולש ADC הוא שווה שוקיים, ולכן: $ \measuredangle ACD = \measuredangle A = 90^\circ - \alpha $ כעת, נסתכל על הזווית DEC. זווית זו היא זווית חיצונית למשולש EDB, ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה: $ \measuredangle DEC = \measuredangle BDE + \measuredangle B = \alpha + \alpha = 2\alpha $ במשולש ישר הזווית CDE (נתון $ \measuredangle CDE = 90^\circ $), סכום הזוויות החדות הוא 90 מעלות: $ \measuredangle DCE + \measuredangle DEC = 90^\circ $ $ \alpha + 2\alpha = 90^\circ \Rightarrow 3\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 30^\circ $ אנו יודעים כי $ \measuredangle ACD = 90^\circ - \alpha $. נציב $ 3\alpha = 90^\circ $: $ \measuredangle ACD = 3\alpha - \alpha = 2\alpha $ מכיוון ש- $ \measuredangle BDE = \alpha $, מצאנו ש- $ 2\alpha = 2 \cdot \measuredangle BDE $, ולכן הוכחנו: $ \measuredangle ACD = 2 \cdot \measuredangle BDE $.

מושגים: זווית חיצונית למשולש

שלב 3: סעיף ב' - חישוב הזוויות החדות במשולש

בשלב הקודם גילינו מתוך סכום הזוויות במשולש CDE כי המשוואה היא $ 3\alpha = 90^\circ $. מכאן מצאנו ש- $ \alpha = 30^\circ $. לכן, הזוויות החדות במשולש ABC הן: $ \measuredangle B = \alpha = 30^\circ $ $ \measuredangle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $ הזוויות החדות הן: $ 30^\circ $ ו- $ 60^\circ $.

שלב 4: סעיף ג' - הבעת הקטע BE באמצעות m

נתבונן שוב במשולש ישר הזווית CDE ($ \measuredangle CDE = 90^\circ $). מצאנו בו שזווית $ \measuredangle DCE = \alpha = 30^\circ $. לפי משפט במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית בת 30 מעלות שווה למחצית היתר. הניצב מול הזווית הוא DE, והיתר הוא CE. לכן: $ DE = \frac{1}{2}CE \Rightarrow CE = 2 \cdot DE $ מכיוון שנתון לנו כי ED = EB, נוכל להציב זאת ולקבל: $ CE = 2 \cdot EB $ הנקודה E נמצאת על הקטע BC, ולכן אורכו השלם מורכב מחיבור הקטעים: $ BC = CE + EB $ נציב את מה שמצאנו עבור CE: $ BC = 2 \cdot EB + EB = 3 \cdot EB $ נתון בשאלה כי אורך הצלע כולה הוא BC = m, לכן נציב ונקבל את התשובה הסופית: $ m = 3 \cdot EB \Rightarrow EB = \frac{m}{3} $ אורך הקטע מובע כ: $ BE = \frac{m}{3} $.

מושגים: משולש הזהב (30-60-90)

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. הוכח (ראו שלבים 1-2). ב. הזוויות החדות: $ \measuredangle B = 30^\circ $ , $ \measuredangle A = 60^\circ $ ג. אורך הקטע BE: $ BE = \frac{m}{3} $

חזרה לקטלוג

#120גיאומטריה

משולש ישר זווית

קראו את השאלה

שאלה

במשולש ישר-זווית $ABC$ $(\measuredangle ACB = 90^\circ)$ . נתון כי $CD$ הוא התיכון ליתר $AB$ . כמו כן, ידוע כי: $\measuredangle EDC = 90^\circ$ , $ED = EB$ .

א. הוכח כי: $\measuredangle ACD = 2 \cdot \measuredangle BDE$ . ב. חשב את הזוויות החדות במשולש $ABC$ . ג. אם נתון ש- $BC = m$ , הבע באמצעות $m$ את אורך הקטע $BE$ .