חזרה לקטלוג
#116אלגברה
משוואות עם שורשיםקראו את השאלה
שאלה
פתרו את המשוואה הבאה:
אלגברה · משוואות עם שורשים
השאלה
פתרו את המשוואה הבאה: 2\sqrt{x} = \sqrt{1 - 8x} - \sqrt{4x + 1}
הטיפ של עובד
1. סידור לפני העלאה בריבוע: לפני שאתם מעלים את המשוואה בריבוע, כדאי מאוד להעביר את הביטוי השלילי לאגף השני. כך תקבלו משוואה של חיבור שורשים. העלאה בריבוע של חיבור הרבה יותר בטוחה (פחות טעויות של חוקי סימנים בכפל המקוצר) ומונעת מצבים שבהם אגף אחד שלילי במובהק. 2. היזהרו מ"פתרונות שקר" (פתרונות זרים): העלאה בריבוע היא פעולה "מסוכנת" שעלולה להוסיף פתרונות שלא באמת מקיימים את המשוואה המקורית. חובה, פשוט חובה, לקחת כל פתרון שקיבלתם בסוף ולהציב אותו במשוואה המקורית. לא עובד? נפסל!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1 - תחום הצבה (תחום הגדרה)
נדרוש שכל הביטויים בתוך השורשים יהיו גדולים או שווים לאפס: x \ge 0 1 - 8x \ge 0 \implies 1 \ge 8x \implies x \le \frac{1}{8} 4x + 1 \ge 0 \implies 4x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{4} מערכת ה"וגם" (חיתוך) של כל התנאים נותנת לנו את תחום ההצבה הצר הבא: 0 \le x \le \frac{1}{8}
מושגים: תחום הצבה
שלב 2: שלב 2 - סידור המשוואה והעלאה ראשונה בריבוע
המשוואה הנתונה: 2\sqrt{x} = \sqrt{1 - 8x} - \sqrt{4x + 1} נעביר את השורש השלילי אגף כדי לקבל משוואה שנוח יותר להעלות בריבוע: 2\sqrt{x} + \sqrt{4x + 1} = \sqrt{1 - 8x} כעת נעלה את שני האגפים בריבוע. נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר באגף השמאלי: (2\sqrt{x} + \sqrt{4x + 1})^2 = (\sqrt{1 - 8x})^2 \\ (2\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{4x + 1} + (\sqrt{4x + 1})^2 = 1 - 8x \\ 4x + 4\sqrt{x(4x + 1)} + 4x + 1 = 1 - 8x
מושגים: כפל מקוצר עם שורשים
שלב 3: שלב 3 - בידוד השורש והעלאה שנייה בריבוע
נכנס איברים דומים ונעביר את כל האיברים שאינם שורש לאגף ימין: 8x + 1 + 4\sqrt{x(4x + 1)} = 1 - 8x \\ 4\sqrt{x(4x + 1)} = 1 - 8x - 8x - 1 \\ 4\sqrt{x(4x + 1)} = -16x נחלק ב-4 כדי לפשט: \sqrt{x(4x + 1)} = -4x נעלה שוב את שני האגפים בריבוע כדי להיפטר מהשורש האחרון: (\sqrt{x(4x + 1)})^2 = (-4x)^2 \\ x(4x + 1) = 16x^2 \\ 4x^2 + x = 16x^2
מושגים: כפל מקוצר עם שורשים
שלב 4: שלב 4 - פתרון המשוואה הריבועית
נעביר את כל האיברים לאגף אחד: 0 = 16x^2 - 4x^2 - x \\ 12x^2 - x = 0 נוציא גורם משותף x: x(12x - 1) = 0 נקבל שני פתרונות אפשריים: x_1 = 0 12x - 1 = 0 \implies 12x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{12} שני הפתרונות נמצאים בתוך תחום ההצבה (שכן 1/12 קטן מ-1/8).
מושגים: אלגברה
שלב 5: שלב 5 - בדיקת פתרונות (שלב קריטי!)
כיוון שהעלינו בריבוע פעמיים, חובה להציב את הפתרונות חזרה במשוואה המקורית: 2\sqrt{x} = \sqrt{1 - 8x} - \sqrt{4x + 1} נבדוק את x = 0: 2\sqrt{0} = \sqrt{1 - 0} - \sqrt{0 + 1} \\ 0 = 1 - 1 \\ 0 = 0 \quad \text{(פסוק אמת)} נבדוק את x = 1/12. באגף שמאל נקבל: 2\sqrt{\frac{1}{12}} = \frac{2}{\sqrt{12}} (זהו מספר חיובי). באגף ימין נקבל: \sqrt{1 - 8\left(\frac{1}{12}\right)} - \sqrt{4\left(\frac{1}{12}\right) + 1} \\ = \sqrt{1 - \frac{8}{12}} - \sqrt{\frac{4}{12} + 1} \\ = \sqrt{\frac{4}{12}} - \sqrt{\frac{16}{12}} \\ = \frac{2}{\sqrt{12}} - \frac{4}{\sqrt{12}} = -\frac{2}{\sqrt{12}} קיבלנו שבאגף שמאל יש לנו מספר חיובי ובאגף ימין מספר שלילי זהה בערכו המוחלט. הם אינם שווים! (הערה: כבר בשלב 3 קיבלנו שורש שווה למספר שלילי אם נציב את הערך הזה, ולכן הפתרון נפסל מראש). הפתרון x = 1/12 הוא פתרון שקר ונפסל. הפתרון היחיד למשוואה הוא x = 0.
מושגים: פסילת פתרונות
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: למשוואה יש פתרון יחיד: x = 0 (הפתרון x = 1/12 נפסל בשלב ההצבה)