סדרות הנדסיות · סדרה הנדסית יורדת עם קשרים בין סכומים

השאלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_1, a_2, a_3, \ldots$ שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$. נסמן ב-$S$ את סכום כל איברי הסדרה, וב-$T$ את סכום הריבועים של כל איברי הסדרה: T = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \ldots נתון כי: $S = 9$ ו-$T = 40.5$. **א.** (1) הראה כי מתקיים: $a_1 = 9(1-q)$. (2) מצא את האיבר הראשון $a_1$ ואת מנת הסדרה $q$. **ב.** מגדירים סדרה חדשה $b_n$ לפי הכלל: $b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}}$. (1) הוכח כי הסדרה $b_n$ היא סדרה קבועה. (2) מצא את ערכם של איברי הסדרה. **ג.** בונים סדרה חדשה $c_n$ שאיבריה הם: $a_1, -a_2, a_3, -a_4, \ldots$. כלומר, כל איברי הסדרה המקורית מופיעים בסדרה $c_n$, אך אלו שנמצאים במקומות הזוגיים מוחלפים בערכיהם הנגדיים. (1) הוכח כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית מתכנסת ומצא את מנתה. (2) חשב את סכום הסדרה $c_n$. **ד.** מצא את הערך הקטן ביותר של $n$ עבורו מתקיים בסדרה המקורית: $a_n < 0.001$.

הטיפ של עובד

שימו לב לסעיף ג'! הסדרה החדשה אינה תת-סדרה של המקומות הזוגיים בלבד. אנחנו לוקחים את כל איברי הסדרה $a_n$ ופשוט הופכים את הסימן של האיברים במקומות הזוגיים. המנה של הסדרה החדשה תהיה $-q$.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: מציאת האיבר הראשון והמנה

נשתמש בנתון $S = 9$ עבור סדרה הנדסית יורדת: \frac{a_1}{1-q} = 9 \implies a_1 = 9(1-q) נשתמש בנתון $T = 40.5$ עבור סדרת הריבועים: \frac{a_1^2}{1-q^2} = 40.5 נציב את הביטוי של $a_1$ במשוואה השנייה: \frac{[9(1-q)]^2}{(1-q)(1+q)} = 40.5 \implies \frac{81(1-q)^2}{(1-q)(1+q)} = 40.5 נצמצם ב-$(1-q)$ ונפתור: \frac{81(1-q)}{1+q} = 40.5 \implies 2(1-q) = 1+q \implies 3q = 1 \implies q = \frac{1}{3} נציב חזרה למציאת $a_1$: a_1 = 9\left(1-\frac{1}{3}\right) = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6

מושגים: סדרה הנדסית, סכום אינסופי, מנה

שלב 2: הוכחת סדרה קבועה

נפשט את הביטוי של $b_n$ בעזרת $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ ו-$a_{n+1} = a_1 \cdot q^n$: b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = \frac{a_n \cdot q}{a_n + a_n \cdot q} = \frac{a_n \cdot q}{a_n(1+q)} = \frac{q}{1+q} מכיוון ש-$q$ הוא קבוע, גם $b_n$ קבועה לכל $n$. ערך האיברים: b_n = \frac{1/3}{1+1/3} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4} = 0.25

מושגים: סדרה קבועה, סדרה הנדסית, פישוט

שלב 3: סדרה עם סימנים מתחלפים

הסדרה החדשה היא: $c_1 = 6, c_2 = -2, c_3 = \frac{2}{3}, c_4 = -\frac{2}{9}, \ldots$ נחשב את המנה של הסדרה החדשה: q_c = \frac{c_2}{c_1} = \frac{-a_2}{a_1} = \frac{-a_1 \cdot q}{a_1} = -q = -\frac{1}{3} מכיוון ש-$|q_c| = \left|-\frac{1}{3}\right| < 1$, הסדרה מתכנסת. סכומה: S_c = \frac{c_1}{1 - q_c} = \frac{6}{1 - (-1/3)} = \frac{6}{4/3} = 4.5

מושגים: סדרה הנדסית, סכום סדרה מתכנסת, מנה

שלב 4: מציאת ה-$n$ המינימלי

נדרוש $a_n < 0.001$ כאשר $a_n = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$: 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0.001 \implies \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{0.001}{6} נשתמש בלוגריתמים (בסיס טבעי): (n-1) \ln\left(\frac{1}{3}\right) < \ln(0.001/6) \implies n-1 > \frac{\ln(0.001/6)}{\ln(1/3)} \approx 7.92 לכן $n > 8.92$, כלומר $n = 9$. אנו בודקים: $a_8 = 6 \cdot (1/3)^7 \approx 0.00137 > 0.001$ ו-$a_9 = 6 \cdot (1/3)^8 \approx 0.000456 < 0.001$ ✓

מושגים: סדרה הנדסית, לוגריתם, אי-שוויון

חזרה לקטלוג

#64סדרות הנדסיות

סדרה הנדסית יורדת עם קשרים בין סכומים

קראו את השאלה

שאלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_1, a_2, a_3, \ldots$ שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$ . נסמן ב- $S$ את סכום כל איברי הסדרה, וב- $T$ את סכום הריבועים של כל איברי הסדרה:

T = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \ldots

נתון כי: $S = 9$ ו- $T = 40.5$ . **א.** (1) הראה כי מתקיים: $a_1 = 9(1-q)$ . (2) מצא את האיבר הראשון $a_1$ ואת מנת הסדרה $q$ . **ב.** מגדירים סדרה חדשה $b_n$ לפי הכלל: $b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}}$ . (1) הוכח כי הסדרה $b_n$ היא סדרה קבועה. (2) מצא את ערכם של איברי הסדרה. **ג.** בונים סדרה חדשה $c_n$ שאיבריה הם: $a_1, -a_2, a_3, -a_4, \ldots$ . כלומר, כל איברי הסדרה המקורית מופיעים בסדרה $c_n$ , אך אלו שנמצאים במקומות הזוגיים מוחלפים בערכיהם הנגדיים. (1) הוכח כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית מתכנסת ומצא את מנתה. (2) חשב את סכום הסדרה $c_n$ . **ד.** מצא את הערך הקטן ביותר של $n$ עבורו מתקיים בסדרה המקורית: $a_n < 0.001$ .