סדרות · חקירת סדרות
השאלה
נתונה סדרה $a_n$. סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $S_n$. נתון כי מתקיים עבור כל $n$ טבעי: $$2S_n - S_{n+1} = n^2 - a_{n+1}$$ **א.** (1). הבע באמצעות $n$ את $S_n$. (2). נתון: $a_1 = 1$. הוכח כי הסדרה $a_n$ חשבונית. יוצרים סדרה חדשה כך שאיברי סדרה זו מתקבלים מהפחתת איברי הסדרה $a_n$ בסכום האיברים הקודמים להם בסדרה $a_n$. לדוגמה: האיבר השלישי בסדרה החדשה יהיה $a_3 - S_2$. **ב.** (1). כמה איברים חיוביים מתקבלים בסדרה החדשה? (2). $T_k$ הוא סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה החדשה ($k \ge 1$). הסבר מדוע $T_k \le 4$. יוצרים סדרה $b_n$ המקיימת עבור כל $n$ טבעי: $b_n = T_{n+2} - 5S_n$. **ג.** הוכח כי כל אברי הסדרה $b_n$ שליליים. **✅ תשובות סופיות:** **א.** (1) $S_n = n^2$. (2) הוכחה (מתקבל $a_n = 2n-1$ והפרש קבוע). **ב.** (1) 3 איברים חיוביים (עבור $n=1, 2, 3$). (2) הסבר (מכיוון שהחל מהאיבר ה-4 כל אברי הסדרה שליליים, הסכום המקסימלי מתקבל ב-$k=3$ וערכו 4). **ג.** הוכחה (על סמך החסמים: $T_{n+2} \le 4$ והעובדה ש-$5S_n \ge 5$).
הטיפ של עובד
💡 **הטיפ של עובד:** בסעיף א', המפתח הוא הקשר הבסיסי $S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$. הציבו אותו במשוואה ותראו איזה יופי הכל מצטמצם! בסעיף ג', הזהרו מלהסתבך עם אלגברה ונוסחאות סכום ארוכות. השתמשו בתוצאות שכבר השגתם: אתם כבר יודעים שהמקסימום של $T_k$ הוא 4, ואתם יודעים למה שווה $S_n$ – חברו את שני החסמים האלה יחד ותקבלו הוכחה חכמה וקצרה של שתי שורות!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': הבעת סכום והוכחת סדרה חשבונית
**(1) הבעת $S_n$ באמצעות $n$:** נתון לנו הקשר: $2S_n - S_{n+1} = n^2 - a_{n+1}$. אנו יודעים את הקשר הבסיסי בין סכומים לאיברים: $S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$. נציב זאת במקום $S_{n+1}$: $$2S_n - (S_n + a_{n+1}) = n^2 - a_{n+1}$$ $$2S_n - S_n - a_{n+1} = n^2 - a_{n+1}$$ $$S_n - a_{n+1} = n^2 - a_{n+1}$$ האיבר $-a_{n+1}$ מצטמצם משני האגפים, ואנו נשארים עם: **$S_n = n^2$**. **(2) הוכחה כי הסדרה חשבונית:** כדי למצוא את האיבר הכללי $a_n$, נשתמש בקשר: $a_n = S_n - S_{n-1}$ (עבור $n \ge 2$). $$a_n = n^2 - (n-1)^2$$ $$a_n = n^2 - (n^2 - 2n + 1)$$ $$a_n = 2n - 1$$ נבדוק אם הנוסחה תקפה גם ל-$n=1$: $a_1 = 2(1) - 1 = 1$. נתון לנו ש-$a_1 = 1$, לכן הנוסחה נכונה לכל $n$. כדי להוכיח שהסדרה חשבונית, עלינו להראות שההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע: $$a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = (2n + 2 - 1) - (2n - 1) = (2n + 1) - 2n + 1 = 2$$ קיבלנו הפרש קבוע (2) שאינו תלוי ב-$n$, ולכן מדובר ב**סדרה חשבונית**.
מושגים: קשר בין סכום לאיבר כללי
שלב 2: סעיף ב': חקירת הסדרה החדשה והחסם של $T_k$
**(1) מציאת מספר האיברים החיוביים:** נסמן את הסדרה החדשה ב-$c_n$. הכלל המילולי אומר: איבר פחות סכום הקודמים לו. $$c_n = a_n - S_{n-1}$$ (הערה: עבור $n=1$, אין איברים קודמים ולכן נתייחס לסכום כ-0. $c_1 = a_1 - 0 = 1$). עבור $n \ge 2$, נציב את הביטויים שמצאנו: $$c_n = (2n - 1) - (n-1)^2$$ $$c_n = 2n - 1 - (n^2 - 2n + 1)$$ $$c_n = -n^2 + 4n - 2$$ אנו מחפשים איברים חיוביים, כלומר מתי $c_n > 0$: $$-n^2 + 4n - 2 > 0$$ נחפש את שורשי המשוואה הריבועית $-n^2 + 4n - 2 = 0$ (או $n^2 - 4n + 2 = 0$): $$n_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$ השורשים הם בערך $0.58$ ו-$3.41$. פרבולה "בוכה" (מקדם $n^2$ שלילי) חיובית בין השורשים: $$0.58 < n < 3.41$$ המספרים הטבעיים בתחום זה הם: $n = 1, 2, 3$. (ניתן לוודא: $c_1 = 1 > 0$, $c_2 = 2 > 0$, $c_3 = 1 > 0$, אך $c_4 = -2 < 0$). **ישנם 3 איברים חיוביים בסדרה החדשה.** **(2) הסבר החסם $T_k \le 4$:** $T_k$ הוא סכום איברי הסדרה $c_n$. ראינו ששלושת האיברים הראשונים חיוביים, והחל מהאיבר הרביעי ($c_4$) כל האיברים הופכים להיות **שליליים** (הפרבולה ממשיכה לרדת). נחשב את הסכומים הראשונים: * $T_1 = c_1 = 1$ * $T_2 = 1 + c_2 = 1 + 2 = 3$ * $T_3 = 3 + c_3 = 3 + 1 = 4$ החל מ-$k=4$, אנו מתחילים להוסיף מספרים שליליים: $T_4 = 4 + (-2) = 2$, $T_5 = 2 + (-5) = -3$ וכן הלאה. הסכום רק ילך ויקטן. לכן, ערך המקסימום המוחלט שהסכום מגיע אליו מתקבל ב-$k=3$ וערכו הוא 4. מכאן שחובה להתקיים: **$T_k \le 4$** לכל $k$.
מושגים: חקירת סדרות חדשות, חסמים של סכום סדרה
שלב 3: סעיף ג': הוכחה שהסדרה $b_n$ תמיד שלילית
נתונה הסדרה: $b_n = T_{n+2} - 5S_n$. מבקשים להוכיח כי $b_n < 0$ לכל $n$ טבעי. במקום לחפש נוסחה מפורשת ומסורבלת ל-$T_{n+2}$, נשתמש בחסמים שמצאנו! 1. בסעיף ב(2) הוכחנו שהסכום $T_k$ תמיד קטן או שווה ל-4. לכן, עבור כל אינדקס, ובפרט $n+2$, מתקיים: **$T_{n+2} \le 4$**. 2. בסעיף א(1) הוכחנו ש-$S_n = n^2$. מכיוון ש-$n \ge 1$ (מספר טבעי), אז $n^2 \ge 1$. 3. לכן, הביטוי $5S_n$ הוא לפחות 5: **$5S_n = 5n^2 \ge 5$**. נחזור לביטוי של $b_n$ ונציב את החסמים: $$b_n = T_{n+2} - 5S_n$$ האיבר הראשון ($T_{n+2}$) תורם **לכל היותר 4**. האיבר השני שמחסרים ($5S_n$) מוריד **לפחות 5**. לכן, הערך המקסימלי האפשרי של הביטוי מתקבל כאשר מחברים את הערך המרבי של החלק החיובי ומחסרים את הערך המינימלי של החלק השלילי: $$b_n \le 4 - 5 = -1$$ מכיוון ש-$b_n \le -1$, בהכרח מתקיים כי **$b_n < 0$** לכל $n$ טבעי. המשימה הושלמה!
מושגים: הוכחת אי שוויון אלגנטי
