סדרות · סדרה הנדסית

שלב 1: שלב 1: ביטוי עבור הסכום $S_n$

הסדרה $a_n$ היא סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון הוא $a_1$ והמנה היא $q$. לפי נוסחת סכום של סדרה הנדסית, הסכום $S_n$ הוא: $$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

מושגים: סכום סדרה הנדסית

שלב 2: שלב 2: ניתוח הסדרה של $T_n$

נתון כי $T_n$ הוא סכום ההופכיים של איברי הסדרה $a_n$: $$T_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$$ מאחר וכל איבר נוצר מהכפלת קודמו ב-$q$, הרי שסדרת ההופכיים נוצרת מהכפלת כל איבר קודם ב- $\frac{1}{q}$. כלומר, זוהי סדרה הנדסית חדשה. האיבר הראשון של הסדרה החדשה הוא: $\frac{1}{a_1}$ המנה של הסדרה החדשה היא: $\frac{1}{q}$

מושגים: סדרת הופכיים

שלב 3: שלב 3: ביטוי עבור הסכום $T_n$

נציב את הנתונים החדשים לתוך נוסחת סכום סדרה הנדסית כדי למצוא את $T_n$: $$T_n = \frac{\frac{1}{a_1} \cdot \left( \left(\frac{1}{q}\right)^n - 1 \right)}{\frac{1}{q} - 1}$$ נפשט את הביטוי על ידי עשיית מכנה משותף במונה ובמכנה בנפרד: $$T_n = \frac{1}{a_1} \cdot \frac{\frac{1 - q^n}{q^n}}{\frac{1 - q}{q}}$$ נכפול בהופכי של המכנה (כפל בהצלבה של שברים): $$T_n = \frac{1}{a_1} \cdot \frac{1 - q^n}{q^n} \cdot \frac{q}{1 - q}$$ נשים לב ש- $\frac{1 - q^n}{1 - q}$ זהה בדיוק ל- $\frac{q^n - 1}{q - 1}$ (הכפלנו מונה ומכנה במינוס 1). בנוסף, $\frac{q}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}}$. לכן: $$T_n = \frac{1}{a_1 \cdot q^{n-1}} \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

מושגים: טכניקה אלגברית

שלב 4: שלב 4: חלוקת הסכומים והשלמת ההוכחה

כעת, נחשב את המנה $\frac{S_n}{T_n}$ המבוקשת: $$\frac{S_n}{T_n} = \frac{\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}}{\frac{1}{a_1 \cdot q^{n-1}} \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}}$$ כפי שניתן לראות, הביטוי המורכב $\frac{q^n - 1}{q - 1}$ מופיע גם במונה וגם במכנה. נצמצם אותו: $$\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1}{\frac{1}{a_1 \cdot q^{n-1}}}$$ לפי חוקי שברים, חילוק בשבר שקול לכפל בהופכי שלו: $$\frac{S_n}{T_n} = a_1 \cdot \left( a_1 \cdot q^{n-1} \right)$$ כעת ניזכר בנוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. נציב זאת במקום הביטוי שבתוך הסוגריים: $$\frac{S_n}{T_n} = a_1 \cdot a_n$$ מ.ש.ל. הוכחנו את הקשר המבוקש.