חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · חקירת פונקציית שורש

שלב 1: סעיף א' - מציאת הפרמטר b

נתון כי גרף הפונקציה $ f(x) $ עובר בנקודה $ (-14, 0) $. נציב שיעורי נקודה זו בתבנית הפונקציה: $$ 0 = \sqrt{21 - 2(-14)} + b(-14) $$ נפשט את הביטוי בתוך השורש: $$ 0 = \sqrt{21 + 28} - 14b $$ $$ 0 = \sqrt{49} - 14b $$ $$ 0 = 7 - 14b $$ נעביר אגפים ונבודד את $ b $: $$ 14b = 7 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $$ **מסקנה:** $ b = \frac{1}{2} $. מציבים ערך זה וממשיכים הלאה.

מושגים: מציאת פרמטר בעזרת נקודה

שלב 2: סעיף ב' - תחום הגדרה

הפונקציה המעודכנת שלנו היא $ f(x) = \sqrt{21 - 2x} + 0.5x $. הדרישה היחידה עבור פונקציית שורש זוגי היא שהביטוי בתוך השורש יהיה אי-שלילי: $$ 21 - 2x \ge 0 $$ נעביר את $ 2x $ אגף ונחלק ב-2: $$ 21 \ge 2x \quad \Rightarrow \quad 10.5 \ge x $$ **תחום ההגדרה של הפונקציה הוא $ x \le 10.5 $.**

שלב 3: סעיף ג' - נקודת חיתוך עם ציר y

למציאת חיתוך עם ציר ה-y, נציב פשוט $ x = 0 $: $$ f(0) = \sqrt{21 - 2(0)} + 0.5(0) $$ $$ f(0) = \sqrt{21} $$ **נקודת החיתוך עם ציר ה-y היא $ (0, \sqrt{21}) $.**

שלב 4: סעיף ד' - נקודות קיצון (פנימיות וקצה)

תחילה, נגזור את הפונקציה. יש להקפיד לגזור את השורש ואת הפונקציה הפנימית שבתוכו (כלל השרשרת): $$ f'(x) = \frac{-2}{2\sqrt{21 - 2x}} + \frac{1}{2} = \frac{-1}{\sqrt{21 - 2x}} + \frac{1}{2} $$ נשווה את הנגזרת לאפס למציאת נקודות קיצון פנימיות חשודות: $$ \frac{-1}{\sqrt{21 - 2x}} + \frac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{21 - 2x}} $$ המונים שווים, לכן המכנים חייבים להיות שווים: $$ \sqrt{21 - 2x} = 2 $$ נעלה את שני האגפים בריבוע: $$ 21 - 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad 17 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 8.5 $$ נמצא את שיעור ה-y של נקודה זו: $$ f(8.5) = \sqrt{21 - 2(8.5)} + 0.5(8.5) = \sqrt{4} + 4.25 = 2 + 4.25 = 6.25 $$ **נקודת קצה:** בנוסף לנקודה הפנימית, עלינו לבדוק את נקודת הקצה של תחום ההגדרה שמצאנו ב- $ x = 10.5 $: $$ f(10.5) = \sqrt{21 - 2(10.5)} + 0.5(10.5) = \sqrt{0} + 5.25 = 5.25 $$ נסדר את הנקודות בטבלת תחומי עלייה וירידה כדי לקבוע את סוגן: | $ x $ | $ x=0 $ | $ 8.5 $ | $ x=9 $ | $ 10.5 $ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $ f'(x) $ | $ (+) $ | $ 0 $ | $ (-) $ | קצה תחום | | מגמה | ↗ עולה | **Max** | ↘ יורדת | **Min** | **סיכום נקודות הקיצון:** $ (8.5, 6.25) $ - נקודת מקסימום פנימית. $ (10.5, 5.25) $ - נקודת מינימום קצה.

מושגים: קיצון קצה בפונקציות שורש

שלב 5: סעיף ה' - סרטוט סקיצה

הסקיצה המלאה מופיעה תחת בלוק ה"תשובות סופיות" שמעל. הסרטוט מסתמך על נקודות הקיצון והחיתוך שמצאנו, וכפי שניתן לראות הפונקציה חותכת את ציר ה-X בנקודה $ x = -14 $ וממשיכה למטה עבור ערכי $ x $ הקטנים יותר, עד לנקודת המינימום קצה ב- $ x = 10.5 $.

שלב 6: סעיף ו' - חקירת הפונקציה g(x) מתוך הנגזרת שלה

נתון הקשר החשוב הבא: $ g'(x) = -f(x) $. אנו מחפשים את נקודת הקיצון **הפנימית** של $ g(x) $. כידוע, נקודות קיצון פנימיות מתקבלות כאשר הנגזרת מתאפסת: $$ g'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = 0 $$ מתוך הסקיצה שסרטטנו (ומהנתון בתחילת השאלה), אנו רואים בבירור שהפונקציה $ f(x) $ חותכת את ציר ה-x רק בנקודה אחת ויחידה: $ x = -14 $. כדי לקבוע את סוג הקיצון של $ g(x) $, נבדוק את סימן הנגזרת $ g'(x) $ משני צדי הנקודה $ x = -14 $: * **עבור $ x < -14 $:** הגרף של $ f(x) $ נמצא מתחת לציר ה-x, כלומר $ f(x) < 0 $. לכן, $ g'(x) = -f(x) = -(-) = + $. מסקנה: הנגזרת של $ g $ חיובית, ולכן הפונקציה $ g(x) $ **עולה**. * **עבור $ x > -14 $:** הגרף של $ f(x) $ נמצא כולו מעל ציר ה-x, כלומר $ f(x) > 0 $. לכן, $ g'(x) = -f(x) = -(+) = - $. מסקנה: הנגזרת של $ g $ שלילית, ולכן הפונקציה $ g(x) $ **יורדת**. מכיוון שהפונקציה $ g(x) $ עוברת ממצב של עלייה למצב של ירידה, הנקודה $ x = -14 $ היא נקודת **מקסימום**. **שיעור ה-x של נקודת הקיצון הפנימית של $ g(x) $ הוא $ x = -14 $ וסוגה מקסימום.**

מושגים: קשר בין פונקציה לפונקציית הנגזרת (או הפונקציה הקדומה)