הסתברות · הסתברות מותנית ועץ

שלב 1: סעיף א' (1): בניית העץ ומציאת P

נבנה עץ הסתברויות המתאר את התהליך שעובר תלמיד יחיד: • שלב 1 (מבחן ראשון): התלמיד יכול לעבור (הסתברות $P$) או להיכשל (הסתברות $1 - P$). • שלב 2 (מבחן שני): רק מי שנכשל בראשון ניגש לשני. - ההסתברות שמי שניגש ייכשל גם הפעם היא $3P$. - ההסתברות שיעבור (המשלים ל-1 באותו ענף) היא $1 - 3P$. המסלול היחיד שמוביל לכך שהתלמיד לא התקבל כלל למסלול (נכשל גם בראשון וגם בשני) הוא הענף: נכשל $\rightarrow$ נכשל. לפי הנתון, $48\%$ מהתלמידים לא מתקבלים, כלומר ההסתברות למסלול זה היא $0.48$: $$(1 - P) \cdot 3P = 0.48$$ נפתור את המשוואה: $$3P - 3P^2 = 0.48$$ $$3P^2 - 3P + 0.48 = 0$$ נחלק ב-3 (לא חובה, אבל מקל): $$P^2 - P + 0.16 = 0$$ נשתמש בנוסחת השורשים: $$P_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 0.64}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{0.36}}{2} = \frac{1 \pm 0.6}{2}$$ נקבל שתי אפשרויות: $P_1 = \frac{1.6}{2} = 0.8$ , $P_2 = \frac{0.4}{2} = 0.2$. בשאלה נתון כי $P < \frac{1}{3}$. כיוון ש- $0.8 > 0.333$, אפשרות זו נפסלת. מכאן ש- $P = 0.2$.

מושגים: עץ הסתברויות ומשוואות

שלב 2: סעיף א' (2): מסלול ספציפי בעץ

מבקשים מאיתנו את ההסתברות למסלול המדויק: נכשל במבחן הראשון $\rightarrow$ עבר את השני. נציב $P = 0.2$ בביטויים של המסלול הזה: • הסתברות להיכשל בראשון: $1 - P = 1 - 0.2 = 0.8$ • הסתברות לעבור את השני (אם נכשל בראשון): $1 - 3P = 1 - 3(0.2) = 1 - 0.6 = 0.4$ נכפול את ההסתברויות לאורך הענף: $$P(\text{נכשל בראשון וגם עבר בשני}) = 0.8 \cdot 0.4 = 0.32$$

שלב 3: סעיף ב': מציאת כמות התלמידים (K) בעזרת המאורע המשלים

בכיתה יש $K$ תלמידים. ההסתברות של תלמיד בודד (כלשהו) לא להתקבל למסלול היא $0.48$ (כפי שנתון בשאלה מראש). מכאן נובע שכמות התלמידים בכיתה שלא התקבלו היא $0.48K$. בוחרים 2 תלמידים בזה אחר זה (ללא החזרה). ההסתברות ש"לפחות אחד התקבל" היא $0.78$. כאשר מופיע הביטוי "לפחות אחד", נוח מאוד להשתמש במאורע המשלים: המאורע המשלים ל"לפחות אחד התקבל" הוא "אף אחד לא התקבל" (כלומר, שני התלמידים שנבחרו לא התקבלו). ההסתברות למאורע המשלים היא: $$P(\text{אף אחד לא התקבל}) = 1 - P(\text{לפחות אחד התקבל}) = 1 - 0.78 = 0.22$$ כעת נבנה את ההסתברות להוצאת שני תלמידים שלא התקבלו מתוך הכיתה, בזה אחר זה: • התלמיד הראשון: ההסתברות לבחור תלמיד שלא התקבל היא כמות התלמידים שלא התקבלו חלקי סך כל התלמידים: $\frac{0.48K}{K}$ (שזה בעצם $0.48$). • התלמיד השני: נשאר תלמיד אחד פחות שלא התקבל ($0.48K - 1$), ותלמיד אחד פחות בסך הכל בכיתה ($K - 1$). לכן ההסתברות היא: $\frac{0.48K - 1}{K - 1}$. נכפול את ההסתברויות ונשווה ל- $0.22$: $$0.48 \cdot \frac{0.48K - 1}{K - 1} = 0.22$$ נפתור את המשוואה. ראשית, נחלק ב-$0.48$: $$\frac{0.48K - 1}{K - 1} = \frac{0.22}{0.48} = \frac{22}{48} = \frac{11}{24}$$ נבצע כפל בהצלבה: $$24(0.48K - 1) = 11(K - 1)$$ $$11.52K - 24 = 11K - 11$$ נעביר אגפים (מספרים ימינה, $K$ שמאלה): $$11.52K - 11K = 24 - 11$$ $$0.52K = 13$$ $$K = \frac{13}{0.52} = 25$$ בכיתה יש 25 תלמידים שנבחנו.

מושגים: המאורע המשלים, הוצאה ללא החזרה מקבוצה התלויה בפרמטר