גיאומטריה · מעגל ומשולש ישר זווית

השאלה

במשולש ישר זווית ACB ($\measuredangle C = 90^\circ$) חסום מעגל שמרכזו O ורדיוסו r. המעגל משיק ליתר AB בנקודה D. נתון: $AD = m$, $BD = n$. הביעו באמצעות m ו- n בלבד את שטח המשולש ACB.

הטיפ של עובד

💡 הטיפ של עובד: זכרו את המשפט על משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה מחוץ למעגל – הם תמיד שווים זה לזה! סמנו את נקודות ההשקה הנוספות על הניצבים והביעו את אורך הניצבים בעזרת $m$, $n$ ו- $r$. מכיוון שהמשולש ישר זווית, נוצר לכם "ריבועון" קטן בפינה C. השתמשו במשפט פיתגורס על המשולש הגדול כדי למצוא קשר אלגברי מפתיע בין $r$ ל- $m$ ו- $n$, ואז חשבו את השטח. תראו איזה קסם קורה שם!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: ביטוי צלעות המשולש בעזרת משיקים

נסמן את נקודות ההשקה של המעגל על הניצבים: נקודה E על הניצב AC, ונקודה F על הניצב BC. לפי המשפט: שני משיקים היוצאים מאותה נקודה מחוץ למעגל שווים באורכם. מהקודקוד A יוצאים המשיקים AD ו- AE, ולכן: $AE = AD = m$. מהקודקוד B יוצאים המשיקים BD ו- BF, ולכן: $BF = BD = n$. נסתכל על המרובע CEOF שנוצר סביב הזווית הישרה C: הזווית ב-C היא $90^\circ$ (נתון). הזוויות ב-E וב-F הן $90^\circ$ כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. מכאן שהמרובע הוא מלבן. במלבן זה שתי צלעות סמוכות הן רדיוסים: $OE = OF = r$. מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע! לכן, הקטעים מנקודת ההשקה לקודקוד C שווים גם הם לרדיוס: $CE = CF = r$. כעת נוכל לבטא את שלוש צלעות המשולש: היתר: $AB = m + n$ ניצב: $AC = AE + EC = m + r$ ניצב: $BC = BF + FC = n + r$

מושגים: משיקים למעגל מנקודה מחוץ לו

שלב 2: שלב 2: שימוש במשפט פיתגורס לפיתוח קשר אלגברי

במשולש ישר זווית ACB מתקיים משפט פיתגורס: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ נציב את הצלעות שמצאנו בשלב 1: $$(m + r)^2 + (n + r)^2 = (m + n)^2$$ נפתח סוגריים (לפי נוסחאות הכפל המקוצר): $$(m^2 + 2mr + r^2) + (n^2 + 2nr + r^2) = m^2 + 2mn + n^2$$ נצמצם את $m^2$ ואת $n^2$ משני אגפי המשוואה ונקבל: $$2mr + 2r^2 + 2nr = 2mn$$ נחלק את המשוואה כולה ב-2: $$mr + r^2 + nr = mn$$ זהו קשר אלגברי חשוב מאוד שישמש אותנו מיד לחישוב השטח. נשמור אותו בצד.

מושגים: משפט פיתגורס

שלב 3: שלב 3: ביטוי השטח והצבת הקשר

שטח משולש ישר זווית שווה למחצית מכפלת הניצבים: $$S_{ACB} = \frac{AC \cdot BC}{2}$$ נציב את הניצבים $AC = m + r$ ו- $BC = n + r$: $$S_{ACB} = \frac{(m + r) \cdot (n + r)}{2}$$ נפתח את הסוגריים במונה: $$S_{ACB} = \frac{mn + mr + nr + r^2}{2}$$ כעת, נסתכל שוב על הקשר שמצאנו בשלב 2: גילינו כי $mr + nr + r^2 = mn$. נזהה את הביטוי הזה בתוך המונה של נוסחת השטח, ונחליף אותו ב- $mn$: $$S_{ACB} = \frac{mn + (mr + nr + r^2)}{2}$$ $$S_{ACB} = \frac{mn + mn}{2}$$ $$S_{ACB} = \frac{2mn}{2}$$ נצמצם את ה-2 ונקבל: $$S_{ACB} = m \cdot n$$ מ.ש.ל. הצלחנו להביע את השטח אך ורק באמצעות $m$ ו- $n$ כנדרש! (רדיוס המעגל, $r$, הצטמצם לחלוטין בתהליך החישוב).

מושגים: אלגברה גיאומטרית

תשובה סופית

התשובה הסופית: m \cdot n

חזרה לקטלוג

#94גיאומטריה

מעגל ומשולש ישר זווית

קראו את השאלה

שאלה

במשולש ישר זווית ACB ( $\measuredangle C = 90^\circ$ ) חסום מעגל שמרכזו O ורדיוסו r. המעגל משיק ליתר AB בנקודה D. נתון: $AD = m$ , $BD = n$ . הביעו באמצעות m ו- n בלבד את שטח המשולש ACB.