חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · חקירת פונקציה על פי גרף נגזרת
השאלה
הפונקצייה $f(x)$ היא פונקצייה בתחום $-4 \le x \le 4$. בציור שלפניך מוצגת סקיצת הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ בתחום זה. א. סרטט סקיצה של גרף הפונקצייה $f''(x)$ בתחום $-4 \le x \le 4$. ציין מספרים על ציר ה-x, והסבר את שיקוליך בסרטוט הגרף. ב. נתון: $f(-3) = 0$ , $f(4) > 0$. (1) בתחום $-4 \le x \le 4$ רשום עבור הפונקצייה $f(x)$ את: • שיעורי ה-x של נקודות הקיצון, וסוגן. • שיעורי ה-x של נקודות הפיתול, ותחומי הקעירות כלפי מעלה $\cup$ וכלפי מטה $\cap$. נמק את תשובותיך. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ בתחום $-4 \le x \le 4$. ציין מספרים על ציר ה-x, סמן את נקודות הפיתול, וסרטט את תחומי הקעירות.
הטיפ של עובד
💡 זכרו את "קשר הזהב" של הנגזרות: תכונות של פונקציה תמיד נגזרות מהערכים (סימנים) של הנגזרת שלה!
• כשפונקציית הנגזרת $f'(x)$ עולה, הנגזרת השנייה $f''(x)$ חיובית והפונקציה קעורה כלפי מעלה $\cup$.
• נקודות החיתוך של $f'(x)$ עם ציר ה-x הן בדיוק נקודות הקיצון של הפונקציה המקורית $f(x)$.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': סרטוט הנגזרת השנייה
הסבר: הפונקציה $f''(x)$ חיובית כאשר $f'(x)$ עולה, ושלילית כאשר $f'(x)$ יורדת. היא מתאפסת בנקודות הקיצון של $f'(x)$ (ב- $x = -1, 0, 1$).
מושגים: קשר נגזרת ונגזרת שנייה
שלב 2: ב' (1): נקודות קיצון של f(x)
נקודות קיצון פנימיות מתרחשות כאשר הנגזרת מתאפסת ומשנה סימן. נתבונן בגרף הנגזרת $f'(x)$: • בנקודה $x = -3$, הנגזרת עוברת מערכים שליליים (מתחת לציר x) לערכים חיוביים (מעל לציר x). משמעות הדבר היא שהפונקציה עוברת מירידה לעלייה. לכן, ב- $x = -3$ יש נקודת מינימום מקומי. • בנקודה $x = 3$, הנגזרת עוברת מערכים חיוביים לערכים שליליים. משמעות הדבר היא שהפונקציה עוברת מעלייה לירידה. לכן, ב- $x = 3$ יש נקודת מקסימום מקומי. נבדוק את קצוות התחום: • ב- $x = -4$, הנגזרת שלילית (הגרף מתחת לציר ה-x), כלומר הפונקציה מתחילה במגמת ירידה. לכן, זוהי נקודת מקסימום קצה. • ב- $x = 4$, הנגזרת שלילית, כלומר הפונקציה מסיימת במגמת ירידה. לכן, זוהי נקודת מינימום קצה.
מושגים: קשר פונקציה ונגזרת
שלב 3: ב' (1): פיתול וקעירות של f(x)
תחומי הקעירות נקבעים לפי מגמת העלייה והירידה של הנגזרת $f'(x)$: • קעירות כלפי מעלה $\cup$: מתרחשת כאשר הנגזרת $f'(x)$ נמצאת במגמת עלייה. לפי הגרף, זה קורה בתחומים: $-4 < x < -1$ ו- $0 < x < 1$. • קעירות כלפי מטה $\cap$: מתרחשת כאשר הנגזרת $f'(x)$ נמצאת במגמת ירידה. לפי הגרף, זה קורה בתחומים: $-1 < x < 0$ ו- $1 < x < 4$. הנקודות שבהן הפונקציה עוברת מקעירות אחת לאחרת (כלומר, הנגזרת עוברת מעלייה לירידה או להפך) הן נקודות הפיתול. זה קורה בנקודות הקיצון של הנגזרת עצמה: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.
מושגים: קשר נגזרת ונגזרת שנייה
שלב 4: ב' (2): סקיצה של הפונקציה f(x)
כדי לסרטט את הסקיצה, נאחד את כל המידע שאספנו יחד עם הנתונים החדשים: • נתון קריטי: $f(-3) = 0$. מכיוון שב- $x=-3$ יש מינימום, נקודה זו משיקה לציר ה-x. • הפונקציה מתחילה ב- $x=-4$ (מקסימום קצה), יורדת למינימום ב- $(-3, 0)$. לכן $f(-4) > 0$. • מ- $x=-3$ ועד $x=3$, הפונקציה עולה. בדרך היא עוברת שלוש נקודות פיתול: - עד $x=-1$ היא קעורה מעלה $\cup$. - בין $x=-1$ ל- $x=0$ היא קעורה מטה $\cap$. - בין $x=0$ ל- $x=1$ היא קעורה שוב מעלה $\cup$. - מ- $x=1$ ועד המקסימום ב- $x=3$ היא קעורה מטה $\cap$. • מנקודת המקסימום ב- $x=3$, הפונקציה יורדת עד לקצה התחום ב- $x=4$. • נתון קריטי שני: $f(4) > 0$. זה אומר שהפונקציה לא יורדת עד מתחת לציר ה-x בקצה הימני. הסקיצה המלאה (המופיעה להלן) ממחישה מסלול זה, תוך ציון נקודות הקיצון, החיתוך, הפיתול ומגמות הקעירות.
מושגים: בניית סקיצה מנתונים מצטברים
