חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · בעיות קיצון בגיאומטריה

שלב 1: שלב 1: הבנת הגיאומטריה של הבעיה

1. נתון כי הקוטר \( AB \) חותך את המיתר \( EF \) בנקודה \( M \) כך ש- \( EM = MF \). מכיוון שקוטר החוצה מיתר מאונך לו, נובע כי **\( AB \perp EF \)**. 2. בנוסף, נתון שהמיתרים מקבילים: \( CD \parallel EF \). 3. אם ישר (\( AB \)) מאונך לאחד משני ישרים מקבילים, הוא בהכרח מאונך גם לשני. לכן **\( AB \perp CD \)**. 4. מסקנה: המשולש \( \Delta CNO \) הוא משולש ישר זווית (\( \measuredangle CNO = 90^\circ \)).

מושגים: קוטר ומיתר במעגל

שלב 2: שלב 2: הגדרת משתנה ובניית פונקציית השטח

1. נסמן את אורך הקטע \( ON \) במשתנה: **\( x = ON \)**. מאחר ו-N נמצאת על הרדיוס OB שאורכו \( R \), תחום ההגדרה הוא \( 0 \le x \le R \). 2. במשולש ישר הזווית \( \Delta CNO \), היתר הוא רדיוס המעגל: \( CO = R \). 3. נשתמש במשפט פיתגורס כדי להביע את הניצב \( CN \): \[ CN^2 + ON^2 = CO^2 \implies CN^2 + x^2 = R^2 \implies CN = \sqrt{R^2 - x^2} \] 4. אנו מחפשים למקסם את שטח המשולש \( \Delta ANC \). בסיס המשולש יכול להיות מוגדר כקטע \( AN \). האורך \( AN \) הוא סכום הרדיוס \( AO \) והקטע \( ON \): \( AN = R + x \). 5. הגובה לצלע \( AN \) הוא בדיוק \( CN \), מכיוון שהוכחנו ש- \( CN \perp AN \). 6. פונקציית השטח \( S(x) \) תהיה: \[ S(x) = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot CN = \frac{1}{2}(R + x)\sqrt{R^2 - x^2} \]

מושגים: משפט פיתגורס במעגל

שלב 3: שלב 3: גזירה ומציאת נקודת המקסימום

נגזור את פונקציית השטח \( S(x) \) בעזרת כלל מכפלה (נשאיר את ה- \( \frac{1}{2} \) בחוץ): \[ S'(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 \cdot \sqrt{R^2 - x^2} + (R + x) \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{R^2 - x^2}} \right] \] נצמצם את ה-2 בשבר ונעשה מכנה משותף בתוך הסוגריים: \[ S'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\sqrt{R^2 - x^2})^2 - x(R + x)}{\sqrt{R^2 - x^2}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{R^2 - x^2 - Rx - x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} \right] \] \[ S'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-2x^2 - Rx + R^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} \right] \] נשווה את המונה לאפס כדי למצוא קיצון: \[ -2x^2 - Rx + R^2 = 0 \] נפתור כמשוואה ריבועית עבור \( x \): \[ x_{1,2} = \frac{-(-R) \pm \sqrt{(-R)^2 - 4(-2)(R^2)}}{2(-2)} = \frac{R \pm \sqrt{R^2 + 8R^2}}{-4} = \frac{R \pm 3R}{-4} \] מכיוון ש- \( x \) מייצג אורך הוא חייב להיות חיובי, לכן ניקח את האפשרות: \[ x = \frac{R - 3R}{-4} = \frac{-2R}{-4} = 0.5R \] (ניתן לוודא שזו נקודת מקסימום על ידי בדיקת ערכים בסביבתה או הצבת קצוות התחום המאפסים את הפונקציה).

מושגים: בעיות קיצון גיאומטריות

שלב 4: שלב 4: תשובות לסעיפים א' ו- ב'

**סעיף א': מציאת \( BN \)** הקטע \( OB \) הוא רדיוס המעגל ואורכו \( R \). הקטע \( N \) מונח עליו. מכאן ש: \( BN = OB - ON = R - x \). נציב את ה- \( x \) שמצאנו: \[ BN = R - 0.5R = 0.5R \] **סעיף ב': חישוב השטח המקסימלי** נציב \( x = 0.5R \) בתוך פונקציית השטח \( S(x) \): \[ S_{max} = \frac{1}{2}(R + 0.5R)\sqrt{R^2 - (0.5R)^2} \] \[ S_{max} = \frac{1}{2}(1.5R)\sqrt{R^2 - 0.25R^2} \] \[ S_{max} = \frac{3R}{4}\sqrt{0.75R^2} = \frac{3R}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}R}{2} \] \[ S_{max} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{8} \]