בטרפז ABCD, משוואת הצלע AB היא $2x + y = 0$, ומשוואת הצלע CD היא $2x + y - 4 = 0$. אורך גובה הטרפז קטן פי 5 מסכום אורכי בסיסיו. א. מצאו את שטח הטרפז. ב. נתון גם שצלע הטרפז AD מונחת על הישר $y + x = 0$. K היא נקודה על הצלע CD כך שמשולש ADK הוא שווה שוקיים ($AK = AD$). מצאו את שטח המשולש ADK (דייקו עד 2 ספרות אחרי הנקודה).
💡 הטיפ של עובד: מרחק בין ישרים מקבילים הוא המפתח כאן! זכרו שאפשר למצוא את גובה הטרפז מיד בעזרת הנוסחה למרחק בין שני ישרים מקבילים ($Ax + By + C = 0$). בנוסף, בסעיף ב', אל תפחדו ממשוואה ריבועית – כשתחפשו את נקודה K, אחת התשובות תצא קודקוד D עצמו (שהרי מרחקו מ-A הוא כמובן כאורך AD), והתשובה השנייה תהיה הנקודה K שחיפשנו.
1. חישוב גובה הטרפז: הישרים AB ו- CD הם בסיסי הטרפז, ולכן הם מקבילים זה לזה (ניתן לראות שהמקדמים של x ו-y זהים בשניהם). גובה הטרפז ($h$) שווה למרחק בין שני הישרים המקבילים הללו. נשתמש בנוסחה למרחק בין מקבילים $Ax + By + C_1 = 0$ ו- $Ax + By + C_2 = 0$: $$h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ הישרים שלנו הם $2x + y + 0 = 0$ ו- $2x + y - 4 = 0$. נציב: $$h = \frac{|0 - (-4)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$$ 2. ביטוי סכום הבסיסים וחישוב השטח: נתון כי אורך הגובה קטן פי 5 מסכום הבסיסים. כלומר, אם נסמן את סכום הבסיסים ב- $a+b$, מתקיים: $$a + b = 5h$$ נוסחת שטח טרפז היא: $$S = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$ נציב את $a+b = 5h$ לתוך הנוסחה: $$S = \frac{5h \cdot h}{2} = \frac{5h^2}{2} = 2.5h^2$$ כעת, נציב את ה- $h$ שמצאנו (כדאי לחשב את $h^2$ קודם: $h^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{16}{5} = 3.2$): $$S = 2.5 \cdot 3.2 = 8$$ שטח הטרפז הוא 8 יח"ר.
מושגים: מרחק בין ישרים מקבילים, אלגברה של שטחים
1. מציאת שיעורי הקודקודים A ו- D: נתון שצלע AD מונחת על הישר $y + x = 0$, כלומר $y = -x$. הקודקוד A הוא נקודת החיתוך של AB ו- AD: $$2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x$$ נשווה בין $y = -x$ ל- $y = -2x$: $$-x = -2x \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0$$ לכן, A(0, 0). הקודקוד D הוא נקודת החיתוך של CD ו- AD: $$2x + y - 4 = 0 \Rightarrow y = -2x + 4$$ נשווה בין $y = -x$ ל- $y = -2x + 4$: $$-x = -2x + 4 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = -4$$ לכן, D(4, -4). 2. מציאת שיעורי הנקודה K: הנקודה K נמצאת על הישר CD ($y = -2x + 4$), לכן נסמן אותה ב- $K(t, -2t + 4)$. נתון משולש שווה שוקיים $AK = AD$. לכן: $AK^2 = AD^2$. נחשב את $AD^2$ (המרחק בין A(0,0) ל- D(4,-4) בריבוע): $$AD^2 = (4 - 0)^2 + (-4 - 0)^2 = 16 + 16 = 32$$ נבנה משוואה למרחק $AK^2$: $$(t - 0)^2 + (-2t + 4 - 0)^2 = 32$$ $$t^2 + (-2t + 4)^2 = 32$$ $$t^2 + 4t^2 - 16t + 16 = 32$$ $$5t^2 - 16t - 16 = 0$$ נפתור את המשוואה הריבועית: $$t_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16)}}{10} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 320}}{10} = \frac{16 \pm \sqrt{576}}{10} = \frac{16 \pm 24}{10}$$ אפשרות אחת היא $t = \frac{40}{10} = 4$. אם $x=4$, ה-y יהיה -4, וזו בעצם הנקודה D. מכיוון שצריך משולש, הנקודה K חייבת להיות שונה מ-D. האפשרות השנייה: $t = \frac{-8}{10} = -0.8$. נחשב את ה-y: $$y = -2(-0.8) + 4 = 1.6 + 4 = 5.6$$ לכן, K(-0.8, 5.6). 3. חישוב שטח המשולש ADK: בסיס המשולש יכול להיות הצלע DK. מכיוון שגם D וגם K מונחות על הישר CD, אורך DK הוא פשוט המרחק ביניהן: $$DK = \sqrt{(4 - (-0.8))^2 + (-4 - 5.6)^2} = \sqrt{(4.8)^2 + (-9.6)^2} = \sqrt{23.04 + 92.16} = \sqrt{115.2}$$ גובה המשולש לצלע זו הוא המרחק מהקודקוד שממול, A(0,0), אל הישר CD. אבל מרחק זה הוא בדיוק הגובה בין המקבילים שחישבנו בסעיף א'! לכן, גובה המשולש הוא $h = \frac{4}{\sqrt{5}}$. נחשב את השטח: $$S_{\Delta ADK} = \frac{DK \cdot h}{2} = \frac{\sqrt{115.2} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}}}{2}$$ ניתן להציב במחשבון לקבלת התוצאה העשרונית: $$S = \frac{10.733 \cdot 1.7888}{2} = 9.60$$ שטח המשולש ADK הוא 9.60 יח"ר.
מושגים: חיתוך ישרים ומרחק בין נקודות
בטרפז ABCD, משוואת הצלע AB היא 2x+y=0, ומשוואת הצלע CD היא 2x+y−4=0. אורך גובה הטרפז קטן פי 5 מסכום אורכי בסיסיו. א. מצאו את שטח הטרפז. ב. נתון גם שצלע הטרפז AD מונחת על הישר y+x=0. K היא נקודה על הצלע CD כך שמשולש ADK הוא שווה שוקיים (AK=AD). מצאו את שטח המשולש ADK (דייקו עד 2 ספרות אחרי הנקודה).
