הסתברות · שאלה 3
השאלה
נושא: הסתברות - שאלה 3 (5 יחידות) בחברת הייטק גדולה מאוד נערך משאל בקרב העובדים לגבי מעבר לשבוע עבודה של 4 ימים. המשתתפים במשאל היו עובדים ותיקים ועובדים חדשים. כל אחד מהמשתתפים במשאל בחר בדיוק באחת משלוש אפשרויות: בעד המעבר, נגד המעבר, או נמנע. מתוצאות המשאל עולים הנתונים הבאים: • $60\%$ מהמשתתפים במשאל הם עובדים ותיקים. • $10\%$ מכלל המשתתפים נמנעו בהצבעתם. התברר כי כל העובדים שנמנעו היו עובדים ותיקים. • מספר העובדים החדשים שהצביעו "בעד" שווה למספר העובדים הוותיקים שהצביעו "נגד". • $75\%$ מבין העובדים החדשים הצביעו "בעד". ענה על הסעיפים הבאים: א. בוחרים באקראי עובד שהשתתף במשאל. מהי ההסתברות שהוא עובד ותיק שהצביע "בעד"? ב. בוחרים באקראי עובד מבין אלו שלא נמנעו בהצבעתם. מהי ההסתברות שהוא הצביע "נגד"? ג. בוחרים באקראי 4 עובדים מכלל המשתתפים במשאל. מהי ההסתברות שבדיוק שניים מהם הצביעו "בעד" ובדיוק שניים מהם הצביעו "נגד"? ד. בוחרים באקראי שני עובדים מכלל המשתתפים במשאל (הנח כי מספר העובדים גדול מאוד ולכן הבחירות בלתי תלויות). ידוע שלפחות אחד משני העובדים נמנע בהצבעתו. מהי ההסתברות ששני העובדים שנבחרו הם עובדים ותיקים?
הטיפ של עובד
יש פה המון מלל וקבוצות (ותיק/חדש, בעד/נגד/נמנע)! כשאתם רואים שאלה כזו, אל תנסו לפתור בראש או לבנות עץ מסובך. תציירו מיד טבלה דו-ממדית. מכיוון שיש פה 3 אפשרויות הצבעה, הטבלה תהיה 2x3. הציבו את האחוזים בתור הסתברויות (למשל 0.6 לוותיקים), וזכרו שאם "כל הנמנעים היו ותיקים", אז ההסתברות לעובד "חדש ונמנע" היא פשוט 0. ברגע שהטבלה מלאה – שאר הסעיפים הם רק לקרוא מתוכה נתונים!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: בניית טבלת ההסתברויות
בנה טבלה 2×3 (ותק × הצבעה): ותיק/חדש בעבור שורות ובעד/נגד/נמנע בעבור עמודות. מתוך הנתונים: $60\%$ ותיקים → השוליים של שורת הוותיקים הם $0.6$, וסך החדשים $0.4$. $10\%$ נמנעו (כולם ותיקים) → $P(\text{ותיק} \cap \text{נמנע}) = 0.1$, $P(\text{חדש} \cap \text{נמנע}) = 0$. $75\%$ מבין החדשים בעד → $P(\text{חדש} \cap \text{בעד}) = 0.75 \times 0.4 = 0.3$. מספר חדשים-בעד = מספר ותיקים-נגד → $P(\text{ותיק} \cap \text{נגד}) = 0.3$. השלם בחיסור: ותיקים-בעד $= 0.6 - 0.3 - 0.1 = 0.2$, חדשים-נגד $= 0.4 - 0.3 = 0.1$. הטבלה הסופית: ותיק | בעד: 0.2 | נגד: 0.3 | נמנע: 0.1 | סך: 0.6 חדש | בעד: 0.3 | נגד: 0.1 | נמנע: 0 | סך: 0.4 סך | 0.5 | 0.4 | 0.1 | 1.0
מושגים: טבלת הסתברויות, חיתוך מאורעות, הסתברות מותנית
שלב 2: סעיף א: ותיק שהצביע בעד
מבקשים: $P(\text{ותיק} \cap \text{בעד})$. קרא מהטבלה: P = 0.2
מושגים: קריאת טבלה, חיתוך מאורעות
שלב 3: סעיף ב: הסתברות מותנית - נגד בין הלא-נמנעים
המילה "מבין" מעידה על הסתברות מותנית. המכנה: $P(\text{לא נמנע}) = 1 - 0.1 = 0.9$. המונה: $P(\text{נגד}) = 0.4$ (כל "נגד" הם לא-נמנעים). P(\text{נגד} \mid \text{לא נמנע}) = \frac{0.4}{0.9} = \frac{4}{9}
מושגים: הסתברות מותנית, נוסחה בייסיאנית
שלב 4: סעיף ג: בחירת 4 עובדים - 2 בעד ו-2 נגד
לא ברנולי קלאסי! יש 3 אפשרויות (בעד, נגד, נמנע), לא 2. הסתברות לרצף ספציפי (בעד, בעד, נגד, נגד): (0.5)^2 \times (0.4)^2 = 0.04 מספר סדרי בחירה (בכמה דרכים למקם 2 "בעד" בתוך 4 מקומות): \binom{4}{2} = 6 P = 6 \times 0.04 = 0.24
מושגים: קומבינטוריקה, בינום מולטי-נומי
שלב 5: סעיף ד: הסתברות מותנית - שניהם ותיקים בתנאי שלפחות אחד נמנע
תנאי: לפחות אחד נמנע. מחשבים דרך המשלים: P(\text{תנאי}) = 1 - P(\text{אף אחד לא נמנע}) = 1 - (0.9)^2 = 1 - 0.81 = 0.19 חיתוך (שניהם ותיקים וגם לפחות אחד נמנע): $P(\text{שניהם ותיקים}) = (0.6)^2 = 0.36$. מזה נחסר $P(\text{שניהם ותיקים ולא נמנעים}) = (0.5)^2 = 0.25$. P(\text{חיתוך}) = 0.36 - 0.25 = 0.11 P = \frac{0.11}{0.19} = \frac{11}{19}
מושגים: הסתברות מותנית, לפחות אחד, משלים
פוקוס המורה הפרטי
חישוב הסתברויות מותניות וארגון נתונים בטבלה דו-ממדית
