סדרות · סדרות חשבוניות וסכומים
השאלה
חקירת סדרות וסכומי איברים נתונה סדרה $a_n$. סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא: S_n = n^2 - 5n + [2 + 6 + 10 + \dots + (4n - 2)] א. מצא נוסחה לאיבר הכללי $a_n$ בסדרה הנתונה. ב. מתבוננים באיברים של הסדרה הנתונה, שערך כל אחד מהם קטן מ-102. חשב את הערך הגדול ביותר שיכול להתקבל עבור סכום מסוים של איברים כאלה (לאו דווקא הסכום של כל האיברים).
הטיפ של עובד
בסעיף ב', המילים "לאו דווקא הסכום של כל האיברים" הן המפתח. כדי למקסם סכום של קבוצת איברים, אנחנו תמיד נרצה לבחור רק את האיברים שמוסיפים לנו ערך - כלומר האיברים החיוביים. שימו לב ש-$a_1$ במקרה הזה הוא שלילי, ולכן הכללתו רק תקטין את הסכום הכולל!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: פישוט נוסחת הסכום
הביטוי בסוגריים הוא סכום סדרה חשבונית עם $n$ איברים, איבר ראשון 2 והפרש 4: \frac{n(2 + 4n - 2)}{2} = \frac{4n^2}{2} = 2n^2 נציב חזרה ב-$S_n$: S_n = n^2 - 5n + 2n^2 = 3n^2 - 5n
מושגים: סדרה חשבונית, סכום סדרה, פישוט אלגברי
שלב 2: מציאת האיבר הכללי (סעיף א')
נשתמש בקשר $a_n = S_n - S_{n-1}$: a_n = (3n^2 - 5n) - (3(n-1)^2 - 5(n-1)) לאחר פתיחת סוגריים וצמצום נקבל: a_n = 6n - 8
מושגים: איבר כללי, סדרה חשבונית, נוסחה נסיגתית
שלב 3: מציאת חסם האיברים (סעיף ב')
נמצא אילו איברים קטנים מ-102: 6n - 8 < 102 \implies 6n < 110 \implies n \le 18 האיברים הם $a_1, a_2, \dots, a_{18}$.
מושגים: אי-שוויון, חסם, תנאי
שלב 4: מקסום הסכום
כדי לקבל סכום מקסימלי, נחבר רק את האיברים החיוביים. $a_1 = -2$ (שלילי), $a_2 = 4$ (חיובי). נחבר את $a_2$ עד $a_{18}$ (17 איברים): Sum = \frac{17(4 + 100)}{2} = 884
מושגים: מקסום, סכום סדרה חשבונית, בחירה אופטימלית
