הנקודה $M$ היא מרכז המעגל החוסם את המשולש $ABC$. $AE$ גובה לצלע $BC$. נתון: • $BC = 16$ • $BE = 6$ • שטח המשולש $ABC$ הוא $96$ **א.** חשבו את רדיוס המעגל $M$. **ב.** חשבו את מרחק הנקודה $M$ מן הצלע $BC$. **ג.** הנקודה $N$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$. 1) חשבו את רדיוס המעגל החסום במשולש $ABC$. 2) חשבו את אורך הקטע $MN$.
כשמבקשים את רדיוס המעגל החוסם ($R$) ונתון השטח, הנוסחה הישירה ביותר היא $S = \frac{abc}{4R}$. כדי למצוא את המרחק של $M$ מהצלע, פשוט הורידו אנך מ-$M$ ל-$BC$ והשתמשו במשפט פיתגורס במשולש שנוצר עם הרדיוס.
נשתמש בנתון השטח כדי למצוא את הגובה $AE$: S_{\triangle ABC} = \frac{BC \cdot AE}{2} \implies 96 = \frac{16 \cdot AE}{2} \implies AE = 12 נחשב את הצלעות באמצעות משפט פיתגורס: במשולש $\triangle ABE$: $AB = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ במשולש $\triangle ACE$: $EC = 16 - 6 = 10$, לכן $AC = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$
מושגים: פיתגורס, שטח משולש, גובה
נשתמש בנוסחת השטח המערבת את רדיוס המעגל החוסם $R$: S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R} \implies 96 = \frac{16 \cdot \sqrt{180} \cdot \sqrt{244}}{4R} R = \frac{16 \cdot 6\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{61}}{384} = \frac{192\sqrt{305}}{384} = \frac{\sqrt{305}}{2} \approx 8.732
מושגים: מעגל חוסם, רדיוס, שטח
נסמן ב-$D$ את אמצע הצלע $BC$, לכן $DC = 8$. מרכז המעגל החוסם $M$ נמצא על האנך האמצעי ל-$BC$. במשולש ישר זווית $\triangle MDC$, כאשר $MC = R$: MD = \sqrt{R^2 - DC^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{305}}{2}\right)^2 - 8^2} = \sqrt{76.25 - 64} = \sqrt{12.25} = 3.5
מושגים: מרחק נקודה מישר, אנך אמצעי, פיתגורס
נחשב את חצי ההיקף $p$: p = \frac{16 + 6\sqrt{5} + 2\sqrt{61}}{2} \approx 22.518 נשתמש בנוסחה $S = p \cdot r$: r = \frac{96}{22.518} \approx 4.263
מושגים: מעגל חסום, רדיוס, היקף
נחשב את המרחקים של $M$ ו-$N$ מהגובה $AE$: מרחק $M$ מהגובה: מכיוון ש-$D$ (אמצע $BC$) נמצא במרחק 8 מ-$B$, ו-$E$ נמצא במרחק 6 מ-$B$, המרחק האופקי הוא $8-6 = 2$. מרחק $N$ מהגובה: המעגל החסום משיק ל-$BC$ בנקודה $K$. המרחק $BK = p - AC = 22.518 - \sqrt{244} \approx 6.898$. לכן המרחק מ-$E$ הוא $6.898 - 6 = 0.898$. כעת נשתמש בפיתגורס על הפרשי המרחקים: \Delta x = 2 - 0.898 = 1.102, \quad \Delta y = r - 3.5 = 4.263 - 3.5 = 0.763 MN = \sqrt{1.102^2 + 0.763^2} \approx \sqrt{1.214 + 0.582} = \sqrt{1.796} \approx 1.34
מושגים: מרחק בין נקודות, פיתגורס, מעגלים
הבנת קשר בין שטח משולש, רדיוס מעגל חוסם וחסום
הנקודה M היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. AE גובה לצלע BC. נתון: • BC=16 • BE=6 • שטח המשולש ABC הוא 96 **א.** חשבו את רדיוס המעגל M. **ב.** חשבו את מרחק הנקודה M מן הצלע BC. **ג.** הנקודה N היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. 1) חשבו את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC. 2) חשבו את אורך הקטע MN.
