חזרה לקטלוג
#29סדרות הנדסיות
יחס בין סדרות משנהקראו את השאלה
שאלה
נתונה סדרה הנדסית שכל האיברים שלה הם חיוביים. סכום האיברים האחרונים גדול פי 8 מסכום האיברים הראשונים.
א. חשבו את מנת הסדרה ().
ב. נתון כי הוא מספר זוגי. נסמן:
חשבו את היחס .
סדרות הנדסיות · יחס בין סדרות משנה
השאלה
נתונה סדרה הנדסית שכל $n$ האיברים שלה הם חיוביים. סכום $n-3$ האיברים האחרונים גדול פי 8 מסכום $n-3$ האיברים הראשונים. א. חשבו את מנת הסדרה ($q$). ב. נתון כי $n$ הוא מספר זוגי. נסמן: S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n T_n = a_1 - a_2 + a_3 - \dots - a_n חשבו את היחס $\frac{S_n}{T_n}$.
הטיפ של עובד
במקום לעשות "חיסורי סכומי" ארוכים ($S_n - S_3$), תתייחסו לקבוצת האיברים האחרונים כאל סדרה הנדסית חדשה. אם בסדרה יש $n$ איברים ואנו לוקחים את ה-$n-3$ האחרונים, סימן שדילגנו על ה-3 הראשונים. האיבר הראשון של הסדרה החדשה יהיה $a_4$, המנה תישאר $q$, ומספר האיברים יהיה $n-3$.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': מציאת המנה $q$
נשתמש בטיפ שלנו להבעת היחס בין הסכומים: סכום $n-3$ הראשונים: סדרה שמתחילה ב-$a_1$. סכום $n-3$ האחרונים: סדרה שמתחילה ב-$a_4$. מכיוון ששאר הפרמטרים (מנה ומספר איברים) זהים, היחס בין הסכומים שווה בדיוק ליחס בין האיברים הראשונים שלהם: \frac{S_{last}}{S_{first}} = \frac{a_4}{a_1} = 8 נפרק לפי נוסחת איבר כללי: \frac{a_1 \cdot q^3}{a_1} = 8 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2
מושגים: סדרה הנדסית, סכום סדרה, מנה, איבר כללי
שלב 2: סכום $S_n$
זוהי הסדרה המקורית עם $a_1$ ו-$q=2$. S_n = \frac{a_1(2^n - 1)}{2 - 1} = a_1(2^n - 1)
מושגים: סדרה הנדסית, נוסחת סכום, מנה קבועה
שלב 3: סכום $T_n$
נשים לב שזוהי סדרה הנדסית שבה המנה היא $-q$, כלומר $-2$. T_n = \frac{a_1((-2)^n - 1)}{-2 - 1} מכיוון שנתון ש-$n$ הוא מספר זוגי, מתקיים: $(-2)^n = 2^n$ T_n = \frac{a_1(2^n - 1)}{-3}
מושגים: סדרה הנדסית, מנה שלילית, מספר זוגי
שלב 4: חישוב היחס
\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1(2^n - 1)}{\frac{a_1(2^n - 1)}{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{-3}} = -3
מושגים: יחס, פישוט ביטויים, חילוק שברים