חקירת פונקציות · חקירת פונקציה רציונלית ואינטגרל
השאלה
נתונה הפונקציה: $f(x) = \frac{x^2 - a^2}{x^2 - 6x + 9}$ כאשר $0 < a < 3$ הוא פרמטר. **סעיף א**: ענו על התת-סעיפים (1)-(5): (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים. (3) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (הביעו באמצעות $a$). (4) מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. (5) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. **סעיף ב**: נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{x^2}{x^2 - 6x + 9}$. (1) הסבירו מדוע לכל $x$ בתחום ההגדרה מתקיים $g(x) > f(x)$. (2) נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$, על ידי הישר $x=1$ ועל ידי ציר ה-$y$ הוא $\frac{2}{3}$. מצאו את ערך הפרמטר $a$.
הטיפ של עובד
בסעיף א(5), זכרו שהגרף חייב להיות חלק ורציף. נקודת המינימום היא נקודת המפנה היחידה בענף השמאלי. השתמשו באסימפטוטות כ"קירות" שאליהם הפונקציה נצמדת מבלי לחצות אותם.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: חקירה ראשונית - תחום ההגדרה ואסימפטוטות
המכנה $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ מתאפס כאשר $x = 3$, לכן תחום ההגדרה הוא $x \neq 3$. אסימפטוטה אנכית: $x = 3$ אסימפטוטה אופקית: מאחר שדרגות המונה והמכנה שוות (שניהם ממעלה 2), האסימפטוטה היא $y = \frac{1}{1} = 1$ (יחס המקדמים המובילים).
מושגים: תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות, אסימפטוטות אופקיות
שלב 2: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר $x$: קבעו את המונה שווה לאפס: $x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x = \pm a$, כלומר הנקודות $(a, 0)$ ו-$(-a, 0)$. חיתוך עם ציר $y$: הציבו $x = 0$: $f(0) = \frac{0 - a^2}{0 - 0 + 9} = \frac{-a^2}{9}$, כלומר הנקודה $(0, -\frac{a^2}{9})$.
מושגים: נקודות חיתוך, מציאת אפסים
שלב 3: נקודות קיצון
חשבו את הנגזרת בעזרת כלל המנה ושווו לאפס. המונה של הנגזרת הוא: $2x(x^2 - 6x + 9) - (x^2 - a^2)(2x - 6)$ אחרי פישוט, נקודת קיצון נמצאת ב-$x = \frac{a^2}{3}$. בדוק סימני הנגזרת או השתמש בנגזרת שנייה לוודא שזה מינימום.
מושגים: נגזרת, נקודות קיצון, מינימום
שלב 4: השוואת הפונקציות וחישוב שטח
ההפרש: $g(x) - f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 6x + 9} - \frac{x^2 - a^2}{x^2 - 6x + 9} = \frac{a^2}{(x-3)^2}$ זה גדול מ-0 לכל $x$ בתחום ההגדרה, ולכן $g(x) > f(x)$.
מושגים: השוואת פונקציות, הפרש פונקציות
שלב 5: חישוב האינטגרל ומציאת הפרמטר
השטח המוגבל בין הגרפים מ-$x=0$ עד $x=1$: \int_0^1 \frac{a^2}{(x-3)^2} dx = a^2 \left[-\frac{1}{x-3}\right]_0^1 חישוב הגבולות: $a^2 \left(-\frac{1}{1-3} + \frac{1}{0-3}\right) = a^2 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{a^2}{6}$ שווו לשטח הנתון: $\frac{a^2}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ (מאחר ש-$a > 0$)
מושגים: אינטגרל, חישוב שטח, אינטגרל מסוים
תשובה סופית
התשובה הסופית: 2
