חקירת פונקציות רציונליות · חקירה עם פרמטר ומספר פתרונות
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{x^2-a}{x^2-4} חקרו את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ענו על תת-הסעיפים הבאים: א-1. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה. א-2. ידוע כי גרף הפונקצייה חותך את ציר ה-$x$ בנקודה שבה $x = 1$. מצאו את ערך הפרמטר $a$. א-3. מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה המאונכות לצירים. א-4. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה וקבעו את סוגה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: מצאו עבור אילו ערכי $k$ לישר $y = k$ אין אף נקודת חיתוך עם גרף הפונקצייה. נמקו בעזרת הגרף.
הטיפ של עובד
חברים, בסעיף ג' מסתתרת הבנה גרפית קריטית. בפונקציות מהסוג הזה, נוצרת לפעמים 'רצועה' של ערכי $y$ שבה הפונקציה פשוט לא קיימת. בדרך כלל מדובר באזור שבין נקודת הקיצון (במקרה הזה המקסימום ב-$x=0$) לבין האסימפטוטה האופקית. הסתכלו על הסקיצה שלכם: כל ישר אופקי שיעבור מעל המקסימום אבל מתחת לאסימפטוטה (או עליה) לא יפגוש את הגרף לעולם. זה הטווח שאתם מחפשים!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א-1: מציאת תחום ההגדרה
תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית נקבע על ידי המכנה שלא יכול להיות אפס. נפתור $x^2 - 4 = 0$: x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 תחום ההגדרה: $x \neq \pm 2$ או $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$
מושגים: תחום הגדרה, פונקציה רציונלית, מכנה
שלב 2: סעיף א-2: מציאת הפרמטר a
גרף הפונקציה חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $x = 1$, כלומר $(1, 0)$ נמצאת על הגרף. נציב בפונקציה: f(1) = 0 \Rightarrow \frac{1^2-a}{1^2-4} = 0 \Rightarrow \frac{1-a}{-3} = 0 כדי שהשבר יהיה אפס, המונה חייב להיות אפס: 1 - a = 0 \Rightarrow a = 1
מושגים: נקודה על גרף, פרמטר, חיתוך עם ציר
שלב 3: סעיף א-3: מציאת אסימפטוטות
כעת $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-4}$ אסימפטוטות אנכיות: מאפסות את המכנה אך לא את המונה. $x = \pm 2$ מאפסות את המכנה, ובדיקה: $2^2 - 1 = 3 \neq 0$. אסימפטוטות אנכיות: $x = 2$ ו-$x = -2$ אסימפטוטה אופקית: השוו בין דרגות. שניהם חזקה 2 עם מקדמים 1. y = \frac{1}{1} = 1
מושגים: אסימפטוטות, אסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית
שלב 4: סעיף א-4: מציאת נקודות קיצון
נגזור בעזרת כלל המנה: f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{2x[(x^2-4)-(x^2-1)]}{(x^2-4)^2} = \frac{-6x}{(x^2-4)^2} למציאת קיצון: $-6x = 0 \Rightarrow x = 0$ ערך הפונקציה ב-$x = 0$: f(0) = \frac{0-1}{0-4} = \frac{1}{4} = 0.25 בדיקת סוג: עבור $x < 0$, $f'(x) > 0$ (עלייה); עבור $0 < x < 2$, $f'(x) < 0$ (ירידה). לכן $(0, 0.25)$ הוא מקסימום.
מושגים: נגזרת, קיצון, כלל המנה, מקסימום
שלב 5: סעיף ב: סרטוט הגרף
הגרף מורכב מ-3 ענפים המופרדים על ידי האסימפטוטות האנכיות: • בחלק האמצעי ($-2 < x < 2$): עולה מ-$-\infty$ אל המקסימום $(0, 0.25)$, ואחר כך יורדת אל $+\infty$ • בצדדים החיצוניים: מתקרבת לאסימפטוטה האופקית $y = 1$ • כל ענף מתקרב לאסימפטוטה האנכית המתאימה
מושגים: סרטוט גרף, אסימפטוטות, קיצון
שלב 6: סעיף ג: ערכי k ללא חיתוך
חיפוש ערכי $k$ כך שהישר $y = k$ לא חותך את הגרף. מהגרף ניתן לראות שקיימת 'רצועה' בין המקסימום לאסימפטוטה: • המקסימום: $y = 0.25$ • האסימפטוטה האופקית: $y = 1$ • בתחום $0.25 < y < 1$: הישר $y = k$ לא חוצה את הגרף • אם $k = 0.25$: משיק בנקודת הקיצון (חיתוך אחד) • אם $k = 1$: זו אסימפטוטה (אין חיתוך ממשי) • אם $0.25 < k < 1$: אין חיתוך מכיוון שהאסימפטוטה לא משמשת כנקודת חיתוך ממשית, התשובה היא: 0.25 < k \le 1 \quad \text{או} \quad \frac{1}{4} < k \le 1
מושגים: חיתוך עם ישר, רצועה ללא חיתוך, אסימפטוטה
פוקוס המורה הפרטי
הבנה גרפית של אזורים ללא חיתוך בין קיצון לאסימפטוטה
