חקירת פונקציה · חקירת פונקציה טריגונומטרית
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x) + \cos(x) + 1} בתחום $0 \le x \le \frac{3}{2}\pi$. סעיף א (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. סעיף א (2) מצאו את האסימפטוטות המאונכות לציר ה-$x$ של הפונקציה $f(x)$. סעיף ב (1) הראו שהנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא: f'(x) = \frac{2\cos x + 4}{(2\cos x + 1)^2} סעיף ב (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה). סעיף ג מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. סעיף ד סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. סעיף ה נתונה הפונקציה $g(x) = -4 \cdot f(x)$ בתחום $0 \le x \le \frac{3}{2}\pi$. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $g'(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$ בתחום $0 \le x \le \frac{\pi}{3}$.
הטיפ של עובד
לפני שאתם רצים לגזור מנת פונקציות מסובכת, תמיד תחפשו זהויות! הזהות $\cos(2x) + 1 = 2\cos^2(x)$ הופכת את המכנה ל-$2\cos^2(x) + \cos(x)$. אם תוציאו $\cos(x)$ כגורם משותף ותשתמשו בזהות $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, תוכלו לצמצם את הפונקציה ולקבל $\frac{2\sin(x)}{2\cos(x) + 1}$. זה יחסוך לכם המון עבודה וטעויות בנגזרת ובמציאת האסימפטוטות!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: פשטוט הפונקציה
באמצעות הזהות $\cos(2x) + 1 = 2\cos^2(x)$ והזהות $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, ניתן לפשט את הפונקציה ל-$f(x) = \frac{2\sin(x)}{2\cos(x) + 1}$ (לאחר הוצאת $\cos(x)$ כגורם משותף מהמכנה).
מושגים: זהויות טריגונומטריות, פשטוט ביטויים
שלב 2: תחום הגדרה ואסימפטוטות
תחום ההגדרה: $0 \le x \le \frac{3}{2}\pi$, $x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$ אסימפטוטה מאונכת: $x = \frac{2\pi}{3}$ (כאשר המכנה מתאפס)
מושגים: תחום הגדרה, אסימפטוטות
שלב 3: נגזרת ותחומי עלייה וירידה
הנגזרת: $f'(x) = \frac{2\cos x + 4}{(2\cos x + 1)^2}$ מכיוון שהמונה $2\cos x + 4$ תמיד חיובי (כי $-1 \le \cos x \le 1$), והמכנה חיובי בתחום ההגדרה, הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. אין תחומי ירידה.
מושגים: נגזרת, כלל המנה, עלייה וירידה
שלב 4: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה-$y$: כאשר $x = 0$, $f(0) = 0$, לכן $(0,0)$ חיתוך עם ציר ה-$x$: כאשר $\sin(2x) = 0$, מקבלים $x = 0, \pi, \frac{3}{2}\pi$. בתחום הגדרתנו, $(0,0)$ ו-$(\pi, 0)$
מושגים: נקודות חיתוך, אפסים של פונקציה
שלב 5: שטח בסעיף ה
עבור $g(x) = -4 \cdot f(x)$, הנגזרת $g'(x) = -4 \cdot f'(x)$ השטח המוגבל בין $g'(x)$ וציר ה-$x$ בתחום $0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ הוא $2\sqrt{3}$ יחידות שטח
מושגים: נגזרת, אינטגרל, שטח בין גרפים
