חקירת פונקציות · חקירה מלאה וסימני פונקציית מכפלה
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} חקרו את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. מצאו את: א-1. תחום ההגדרה של הפונקצייה. א-2. משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה המאונכות לצירים. א-3. נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים. א-4. שיעורי נקודת הקיצון וקביעת סוגה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: נגדיר פונקציה חדשה: $h(x) = f(x) \cdot f'(x)$. בהסתמך על הגרף שסרטטתם, מצאו את התחומים שבהם הפונקציה $h(x)$ היא חיובית ($h(x) > 0$). נמקו.
הטיפ של עובד
חברים, סעיף ג' הוא מלחמת סימנים! כדי ש־$h(x)$ תהיה חיובית, שתי הפונקציות המרכיבות אותה חייבות להיות בעלות אותו סימן (או ששתיהן חיוביות או ששתיהן שליליות). תסתכלו על הסקיצה: איפה הפונקציה נמצאת מעל ציר ה־x וגם עולה בו זמנית? או איפה היא מתחת לציר ה־x וגם יורדת? אלו בדיוק התחומים שאתם מחפשים. אל תתפתו לגזור ולפתור אי־שוויון אלגברי, זה בזבוז זמן יקר!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א-1: תחום ההגדרה
המכנה $x^2 + 1$ תמיד חיובי ($x^2 + 1 > 0$ לכל $x$), ולא יכול להתאפס. לכן תחום ההגדרה הוא כל הממשיים.
מושגים: תחום הגדרה, פונקציה רציונלית
שלב 2: א-2: אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: אין (המכנה לא מתאפס). אסימפטוטה אופקית: החזקות במונה ובמכנה שוות (שתיהן 2). מחלקים את המקדמים: $\frac{1}{1} = 1$, ולכן $y = 1$.
מושגים: אסימפטוטה, פונקציה רציונלית
שלב 3: א-3: חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר $x$: פותרים $x^2 - 1 = 0$, ומקבלים $x = 1$ ו־$x = -1$. נקודות: $(1, 0)$ ו־$(-1, 0)$. חיתוך עם ציר $y$: $f(0) = \frac{-1}{1} = -1$. נקודה: $(0, -1)$.
מושגים: חיתוך עם צירים
שלב 4: א-4: נקודות קיצון
גזירה בכלל המנה: $f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$. נקודה חשודה: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$. טבלת סימנים: $f'(x) < 0$ כאשר $x < 0$ ו־$f'(x) > 0$ כאשר $x > 0$. לכן $(0, -1)$ הוא מינימום.
מושגים: נגזרת, קיצון מקומי
שלב 5: ב: סקיצת הגרף
הגרף עובר דרך הנקודות $(-1, 0)$, $(0, -1)$ ו־$(1, 0)$. נקודת מינימום ב־$(0, -1)$. אסימפטוטה אופקית ב־$y = 1$ בקצוות. הפונקציה יורדת לפני $x = 0$ ועולה אחרי זה.
מושגים: גרף, סקיצה
שלב 6: ג: תחומי חיוביות של $h(x) = f(x) \cdot f'(x)$
$h(x)$ חיובית כאשר $f(x)$ ו־$f'(x)$ בעלי אותו סימן. מניתוח הגרף והנגזרת: • $-1 < x < 0$: $f(x) < 0$ (תחת ציר $x$) ו־$f'(x) < 0$ (יורדת) → $(-)\cdot(-) = (+)$ • $x > 1$: $f(x) > 0$ (מעל ציר $x$) ו־$f'(x) > 0$ (עולה) → $(+)\cdot(+) = (+)$ תשובה: $h(x) > 0$ כאשר $-1 < x < 0$ או $x > 1$.
מושגים: חיוביות, סימנים, מכפלה
