רגרסיה · רגרסיה וניבוי נתונים

השאלה

חוקר בשם דן בדק את הקשר בין אחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה (משתנה $x$) לבין אחוז הילדים בני 0-14 (משתנה $y$) ב-12 מדינות שונות. דן חישב את המדדים הבאים עבור נתוני המחקר: $\bar{x} = 0.465$, $s_x = 0.683$, $r = 0.871$ דן מצא כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא: y = 11.3x + 16.3 א. (1) מצאו את הממוצע של אחוז הילדים באותן המדינות (הממוצע של $y$). (2) מצאו את סטיית התקן של אחוז הילדים באותן המדינות ($s_y$). ב. במדינה מסוימת נתון כי גודל האוכלוסייה נשאר קבוע לאורך זמן (כלומר, אין גידול שנתי). על פי ישר הרגרסיה, מהו אחוז הילדים החזוי במדינה זו? ג. נתונה מדינה נוספת, שאחוז הגידול השנתי שלה הוא 2. האם ניתן להסיק בוודאות כי אחוז הילדים במדינה זו הוא בדיוק 38.9? נמקו את תשובתכם על סמך ערכו של מקדם המתאם ($r$).

הטיפ של עובד

חברים, זו שאלת מתנה אם זוכרים את נוסחת השיפוע! השיפוע (11.3) מורכב מהמתאם ($r$) כפול היחס בין סטיות התקן. זה מאפשר לכם למצוא את הפיזור של $y$ בשני שלבים. ובסעיף האחרון? אל תתבלבלו בין 'ניבוי' ל'מציאות'. ישר הרגרסיה נותן לנו הערכה, אבל כל עוד המתאם הוא לא 1 עגול, תמיד יהיו סטיות מהקו!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: מציאת ממוצע y - סעיף א(1)

קו הרגרסיה תמיד עובר בנקודת הממוצעים $(\bar{x}, \bar{y})$. נציב $x = 0.465$ במשוואה: \bar{y} = 11.3 \cdot 0.465 + 16.3 = 5.2545 + 16.3 = 21.5545

מושגים: רגרסיה, ממוצע, נקודת הממוצעים

שלב 2: מציאת סטיית התקן של y - סעיף א(2)

נשתמש בנוסחת השיפוע: $b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$. נציב את הנתונים: 11.3 = 0.871 \cdot \frac{s_y}{0.683} נבודד את $s_y$: s_y = \frac{11.3 \cdot 0.683}{0.871} \approx 8.86

מושגים: סטיית תקן, שיפוע, מקדם מתאם

שלב 3: ניבוי עבור x = 0 - סעיף ב'

אין גידול שנתי פירושו $x = 0$. נציב במשוואת קו הרגרסיה: y = 11.3 \cdot 0 + 16.3 = 16.3 אחוז הילדים החזוי הוא 16.3%.

מושגים: ניבוי, קו רגרסיה, הצבה

שלב 4: דיון בודאות הניבוי - סעיף ג'

נציב $x=2$ במשוואה: y = 11.3 \cdot 2 + 16.3 = 38.9 התשובה היא לא. נימוק: ישר הרגרסיה נותן ערך חזוי בלבד (ממוצע משוער). מכיוון שמתקיים $r = 0.871$ (ולא $r = 1$), הנתונים אינם נמצאים כולם על הישר, ולכן במציאות ייתכנו סטיות מהערך החזוי.

מושגים: מקדם מתאם, ניבוי, דיוק ניבוי

חזרה לקטלוג

#27רגרסיה

רגרסיה וניבוי נתונים

קראו את השאלה

שאלה

חוקר בשם דן בדק את הקשר בין אחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה (משתנה $x$ ) לבין אחוז הילדים בני 0-14 (משתנה $y$ ) ב-12 מדינות שונות.

דן חישב את המדדים הבאים עבור נתוני המחקר: $\bar{x} = 0.465$ , $s_x = 0.683$ , $r = 0.871$

דן מצא כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא:

y = 11.3x + 16.3

א. (1) מצאו את הממוצע של אחוז הילדים באותן המדינות (הממוצע של $y$ ). (2) מצאו את סטיית התקן של אחוז הילדים באותן המדינות ( $s_y$ ).

ב. במדינה מסוימת נתון כי גודל האוכלוסייה נשאר קבוע לאורך זמן (כלומר, אין גידול שנתי). על פי ישר הרגרסיה, מהו אחוז הילדים החזוי במדינה זו?

ג. נתונה מדינה נוספת, שאחוז הגידול השנתי שלה הוא 2. האם ניתן להסיק בוודאות כי אחוז הילדים במדינה זו הוא בדיוק 38.9? נמקו את תשובתכם על סמך ערכו של מקדם המתאם ( $r$ ).