א. נתון ישר שמשוואתו $3y = 4x + 20$. הישר מאונך לאחת האסימפטוטות של היפרבולה, ועובר דרך המוקד השמאלי של ההיפרבולה. מצא את משוואת ההיפרבולה. ב. מצא את השיעורים של הנקודות על ההיפרבולה המקיימות: מרחק כל נקודה מאחד המוקדים של ההיפרבולה גדול פי 2 מהמרחק מהמוקד האחר. בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית, במידת הצורך.
הטיפ של עובד
חברים, שימו לב למלכודת בסעיף ב'! כשכתוב 'גדול פי 2 מהמרחק מהמוקד האחר', אנחנו לא יודעים איזה מוקד הוא הקרוב ואיזה הרחוק. אבל רגע של מחשבה: בזכות הסימטריה של ההיפרבולה, אם תמצאו נקודה אחת ברביע הראשון, תוכלו מיד לדעת את כל השלוש האחרות פשוט על ידי שינוי סימני ה-$x$ וה-$y$. חסכון אדיר בזמן!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': מציאת משוואת ההיפרבולה
1. נסדר את משוואת הישר הנתון: $y = \frac{4}{3}x + \frac{20}{3}$. שיפועו הוא $m_1 = \frac{4}{3}$. 2. הישר מאונך לאסימפטוטה. שיפוע האסימפטוטות הוא $\pm \frac{b}{a}$. לכן: $\frac{b}{a} = -\frac{1}{4/3} = -\frac{3}{4}$. מכיוון ש-$a,b > 0$, היחס הוא $\frac{b}{a} = \frac{3}{4} \implies b^2 = \frac{9}{16}a^2$. 3. הישר עובר דרך המוקד השמאלי $F_1(-c, 0)$. נציב בישר: $0 = \frac{4}{3}(-c) + \frac{20}{3} \implies c = 5$. 4. נשתמש בקשר $c^2 = a^2 + b^2$: $25 = a^2 + \frac{9}{16}a^2 \implies 25 = \frac{25}{16}a^2 \implies a^2 = 16$. מכאן ש-$b^2 = 9$. המשוואה היא: \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1
מושגים: אסימפטוטה, מוקד, היפרבולה, משוואה
שלב 2: סעיף ב': נקודות עם יחס מרחקים
1. נסמן את מרחקי הנקודה מהמוקדים ב-$r_1$ ו-$r_2$. לפי הגדרת ההיפרבולה: $|r_1 - r_2| = 2a = 8$. 2. נתון $r_1 = 2r_2$. נציב בהגדרה: $|2r_2 - r_2| = 8 \implies r_2 = 8$. לכן $r_1 = 16$. 3. נשתמש בנוסחת רדיוס וקטור (עבור ענף ימין): $r_2 = ex - a$. האקסצנטריות היא $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} = 1.25$. 4. נבנה משוואה: $8 = 1.25x - 4 \implies 12 = 1.25x \implies x = 9.6$. 5. נמצא את $y$: $\frac{9.6^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \implies 5.76 - \frac{y^2}{9} = 1 \implies \frac{y^2}{9} = 4.76 \implies y^2 = 42.84$. לכן $y = \pm \sqrt{42.84} \approx \pm 6.55$. 6. בשל הסימטריה, נקבל גם פתרונות עבור $x = -9.6$. הנקודות הן: (\pm 9.6, \pm 6.55)
א. נתון ישר שמשוואתו 3y=4x+20. הישר מאונך לאחת האסימפטוטות של היפרבולה, ועובר דרך המוקד השמאלי של ההיפרבולה. מצא את משוואת ההיפרבולה.
ב. מצא את השיעורים של הנקודות על ההיפרבולה המקיימות: מרחק כל נקודה מאחד המוקדים של ההיפרבולה גדול פי 2 מהמרחק מהמוקד האחר. בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית, במידת הצורך.
