נגזרות · הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת
השאלה
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$, מוגדרות לכל $x$. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$: גרף הפונקציה f(x) נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא אי-זוגית, ויש לה נקודת מינימום אחת בלבד ששיעוריה הם $(3, -6)$. לפונקציה $f(x)$ ולפונקציית הנגזרת $f'(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y = 0$. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$.
הטיפ של עובד
נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא תמיד פונקציה זוגית (סימטרית לציר ה-y). בנקודות הקיצון של הפונקציה, הנגזרת חייבת להתאפס: $f'(3) = 0$. היכן שהפונקציה יורדת, הנגזרת שלילית; היכן שהיא עולה, הנגזרת חיובית.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: זהוי נקודות אפס של הנגזרת
בגלל המינימום בנקודה $x=3$ והמקסימום בנקודה $x=-3$ (הנובע מאי-זוגיות של הפונקציה), הנגזרת חייבת להתאפס בנקודות אלו. לכן: $f'(-3) = 0$ ו-$f'(3) = 0$, כלומר הגרף של $f'(x)$ חותך את ציר ה-x בנקודות אלו.
מושגים: נגזרת, קיצון, נקודות אפס
שלב 2: סימטריה של גרף הנגזרת
נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא תמיד פונקציה זוגית. לכן הגרף של $f'(x)$ חייב להיות סימטרי סביב ציר ה-$y$, כלומר $f'(-x) = f'(x)$ לכל $x$ בתחום ההגדרה.
מושגים: פונקציה זוגית, סימטריה, פונקציה אי-זוגית
שלב 3: ניתוח תחומי סימן
בתחום $-3 < x < 3$ הפונקציה $f(x)$ יורדת, ולכן הנגזרת שלילית: $f'(x) < 0$. במרווחים $x < -3$ ו-$x > 3$ הפונקציה $f(x)$ עולה, ולכן הנגזרת חיובית: $f'(x) > 0$. כמו כן, לשתי הפונקציות אסימפטוטה אופקית $y = 0$, ולכן $\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0$.
מושגים: תחומי עלייה וירידה, סימן הנגזרת, אסימפטוטה
שלב 4: סקיצה של גרף הנגזרת f'(x)
סקיצה של פונקציית הנגזרת f'(x)
מושגים: נגזרת, סימטריה, קיצון
