נתון כי אחד ממוקדי ההיפרבולה $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ הוא $\left( \frac{5a}{4}, 0 \right)$, כאשר $a > 0$. הנקודה $(\sqrt{80}, 3)$ נמצאת על ההיפרבולה. א. מצא את משוואת ההיפרבולה. ב. מהמוקד הימני $F$ של ההיפרבולה העבירו ישר החותך את האסימפטוטה בעלת השיפוע השלילי בנקודה $D$, כך שנוצר משולש שווה שוקיים $OFD$ שבו $OF = FD$ ($O$ ראשית הצירים). חשב את שטח המשולש $OFD$.
חברים, שימו לב לנתון של המוקד! הוא נותן לכם את הקשר הישיר בין $a$ ל-$c$, ומכאן הדרך למצוא את $b$ קצרה מאוד בעזרת $c^2 = a^2 + b^2$.\n\nבסעיף ב', אל תתחילו עם נוסחאות מרחק מסובכות מדי. ברגע שנתון $OF = FD$, ונקודה $O$ היא הראשית, המרחק $OF$ הוא פשוט שיעור ה-$x$ של המוקד. השתמשו בזה כדי למצוא את נקודה $D$ על האסימפטוטה, וזכרו ששטח משולש שהבסיס שלו על ציר ה-$x$ הוא פשוט חצי כפול הבסיס כפול שיעור ה-$y$ של הקודקוד השלישי!
נתון $c = \frac{5a}{4}$. נשתמש בקשר $c^2 = a^2 + b^2$: \left(\frac{5a}{4}\right)^2 = a^2 + b^2 \implies \frac{25a^2}{16} = a^2 + b^2 \implies b^2 = \frac{9a^2}{16}
מושגים: היפרבולה, מוקד, קשר בין פרמטרים
נציב את הנקודה $(\sqrt{80}, 3)$ במשוואת ההיפרבולה: \frac{80}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1
מושגים: היפרבולה, הצבה, משוואה
נציב את הקשר שמצאנו $b^2 = \frac{9a^2}{16}$: \frac{80}{a^2} - \frac{16}{a^2} = 1 \implies \frac{64}{a^2} = 1 מכאן: $a^2 = 64$ ו-$b^2 = 36$
מושגים: משוואה, פתרון, היפרבולה
משוואת ההיפרבולה: $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$
מושגים: היפרבולה, משוואה
המוקד הימני $F$: $c^2 = 64+36 = 100 \implies c=10$. לכן $F(10, 0)$.
מושגים: היפרבולה, מוקד, מרחק
האסימפטוטה בעלת השיפוע השלילי היא $y = -0.75x$ או $y = -\frac{3}{4}x$
מושגים: היפרבולה, אסימפטוטה
נתון $OF = FD = 10$. נמצא את נקודה $D(x, -0.75x)$ שמרחקה מ-$F(10,0)$ הוא 10: (x-10)^2 + (-0.75x)^2 = 100 \implies 1.5625x^2 - 20x = 0 הפתרון שאינו הראשית הוא $x = 12.8$
מושגים: משולש, מרחק, אסימפטוטה
שיעור ה-$y$ של $D$ הוא: $y = -0.75 \cdot 12.8 = -9.6$
מושגים: נקודה, קואורדינטות
שטח המשולש $OFD$: S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot |-9.6| = 48
מושגים: משולש, שטח, גיאומטריה
נתון כי אחד ממוקדי ההיפרבולה a2x2−b2y2=1 הוא (45a,0), כאשר a>0. הנקודה (80,3) נמצאת על ההיפרבולה. א. מצא את משוואת ההיפרבולה. ב. מהמוקד הימני F של ההיפרבולה העבירו ישר החותך את האסימפטוטה בעלת השיפוע השלילי בנקודה D, כך שנוצר משולש שווה שוקיים OFD שבו OF=FD (O ראשית הצירים). חשב את שטח המשולש OFD.
