היפרבולה · חיתוך אסימפטוטות ושטח משולש מוקדי
השאלה
נתונה ההיפרבולה $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, כאשר $a > 0$ ו-$b > 0$. ישר ששיפועו $\frac{21}{4}$ חותך בנקודה A את האסימפטוטה של ההיפרבולה ששיפועה חיובי, ואת האסימפטוטה ששיפועה שלילי הוא חותך בנקודה B. שיעור ה-y של הנקודה A הוא 2, ושיעור ה-x של הנקודה B הוא 2. א. חשב את היחס $\frac{b}{a}$. דרך המוקד הימני F של ההיפרבולה מעבירים אנך לאסימפטוטה ששיפועה חיובי. האנך חותך את האסימפטוטה בנקודה D. ב. מצא את שטח המשולש ODF (O - ראשית הצירים), אם המרחק של המוקד הימני F מהאסימפטוטה ששיפועה חיובי הוא 3.
הטיפ של עובד
שני קיצורי דרך: בסעיף א', סמנו מיד $t = \frac{b}{a}$ ולא תנסו למצוא את $a$ ו-$b$ בנפרד. בסעיף ב', הישר FD מאונך לאסימפטוטה, כלומר משולש ODF הוא ישר זווית עם היתר $c=5$, ניצב אחד $3$, והשני $4$ לפי פיתגורס. השטח הוא מחצית מכפלת הניצבים.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הגדרת האסימפטוטות
נסמן $t = \frac{b}{a}$ כאשר $t > 0$. האסימפטוטות של ההיפרבולה הן $y = tx$ (חיובית) ו-$y = -tx$ (שלילית).
מושגים: היפרבולה, אסימפטוטה, שיפוע
שלב 2: קואורדינטות הנקודות A ו-B
על האסימפטוטה החיובית: A עם $y_A = 2$ נותן $x_A = \frac{2}{t}$, לכן $A\left(\frac{2}{t}, 2\right)$. על האסימפטוטה השלילית: B עם $x_B = 2$ נותן $y_B = -2t$, לכן $B(2, -2t)$.
מושגים: נקודה, אסימפטוטה, קואורדינטות
שלב 3: בנייה של משוואה לפי השיפוע
הישר דרך A ו-B בעל שיפוע $\frac{21}{4}$: \frac{2 - (-2t)}{\frac{2}{t} - 2} = \frac{21}{4} לאחר הכפלה והצמצום של גורמים משותפים: \frac{t(1 + t)}{1 - t} = \frac{21}{4} כפל צולב נותן $4t^2 + 25t - 21 = 0$.
מושגים: שיפוע, משוואה ריבועית, אלגברה
שלב 4: פתרון למציאת t
t = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 336}}{8} = \frac{-25 \pm 31}{8} שני שורשים: $t_1 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ (תקף) ו-$t_2 = -7$ (נפסל כי $t > 0$). תשובה סעיף א: $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$.
מושגים: משוואה ריבועית, שורשים, ערך
שלב 5: מציאת המוקד F
האסימפטוטה החיובית: $y = \frac{3}{4}x$ או $3x - 4y = 0$. המוקד הימני: $F(c, 0)$. מרחק מנקודה לישר: d = \frac{|3c|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{3c}{5} = 3 לכן $c = 5$ ו-$F(5, 0)$.
מושגים: מוקד, מרחק נקודה מישר, אסימפטוטה
שלב 6: שיטה חכמה: זיהוי משולש ישר זווית
נקודה D היא חיתוך האנך מ-F לאסימפטוטה. כיוון שהאנך מאונך לאסימפטוטה, הזווית $\angle ODF = 90°$. המשולש ODF הוא ישר זווית.
מושגים: משולש ישר זווית, אנך
שלב 7: חישוב הניצב השני בעזרת פיתגורס
ביתר: $OF = c = 5$ (מראשית למוקד). ניצב ראשון: $FD = 3$ (נתון). ניצב שני: OD^2 + FD^2 = OF^2 \implies OD^2 + 9 = 25 \implies OD = 4
מושגים: פיתגורס, משפט פיתגורס, ניצב
שלב 8: חישוב השטח
שטח משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים: S_{\triangle ODF} = \frac{OD \cdot FD}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 תשובה סעיף ב: 6 יח"ר.
מושגים: שטח, משולש ישר זווית
פוקוס המורה הפרטי
הכרת תכונות היפרבולה ואסימפטוטות, שימוש חכם בחזקות ושיפועים, וזיהוי משולש ישר זווית בהקשר גיאומטרי.
