נתון המעגל $x^2 + y^2 = 12$. מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצא משיק למעגל הנתון. אורך המשיק גדול פי 2 מהמרחק של הנקודה $A$ מציר ה-$x$. א. מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $A$ המקיימות תנאי זה. ב. מצא את משוואות האסימפטוטות של המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף א'.
הטיפ של עובד
כשמדברים על אורך משיק מנקודה חיצונית למעגל, יש נוסחה שחוסכת הרבה זמן: אם משוואת המעגל היא $x^2 + y^2 = R^2$, אז ריבוע אורך המשיק ($L^2$) מנקודה $(x,y)$ הוא בדיוק $x^2 + y^2 - R^2$. זה נובע מחוק פיתגורס - נוצר משולש ישר זווית בין הרדיוס, המשיק והמרחק מהמרכז.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הגדרה וקביעת המרחקים
נסמן את הנקודה $A$ ב-$(x, y)$. המרחק של $A$ מציר ה-$x$ הוא $|y|$. לכן אורך המשיק הוא $2|y|$.
מושגים: גיאומטריה, מרחק
שלב 2: הצבת נוסחת המשיק
נסמן את אורך המשיק ב-$L$. ריבוע אורך המשיק מקיים: L^2 = d^2 - R^2 כאשר $d$ הוא המרחק מראשית הצירים (מרכז המעגל).
נתון המעגל x2+y2=12. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצא משיק למעגל הנתון. אורך המשיק גדול פי 2 מהמרחק של הנקודה A מציר ה-x.
א. מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות A המקיימות תנאי זה.
ב. מצא את משוואות האסימפטוטות של המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף א'.
