היפרבולה · מקום גיאומטרי
השאלה
נתונה ההיפרבולה $x^2 - y^2 = a^2$. $P$ היא נקודה כלשהי על ההיפרבולה ברביע הראשון. מהנקודה $P$ מורידים אנך לציר ה-$x$, החותך את הציר בנקודה $N$. דרך הנקודה $N$ מעבירים ישר $\ell_1$ המקביל ל-$OP$ ($O$ ראשית הצירים). דרך הנקודה $P$ מעבירים ישר $\ell_2$ המקביל לציר ה-$x$. הישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$ נפגשים בנקודה $M$. א. הבע באמצעות $a$ את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודות $M$ הנוצרות באופן זה. ב. מהי הצורה הגיאומטרית שמתוארת על ידי המשוואה שמצאת בסעיף א'?
הטיפ של עובד
בשאלות מקום גיאומטרי, הסוד הוא לא להתבלבל בין הנקודות. סמנו את נקודת המטרה שלכם (זו שמחפשים עליה את המשוואה) ב-$(x,y)$, ואת הנקודה ש'זזה' (זאת שעל העקומה הנתונה) ב-$(x_0, y_0)$. המטרה שלכם היא לבטא את $x_0$ ו-$y_0$ באמצעות $x$ ו-$y$, ואז 'לשתול' אותם בתוך המשוואה המקורית. ברגע ש-$x_0$ ו-$y_0$ נעלמו ונשארתם רק עם $x, y$ ו-$a$ – ניצחתם!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סימון נקודות
נסמן את הנקודה $P$ שעל ההיפרבולה המקורית כ-$P(x_0, y_0)$. מכיוון שהיא על ההיפרבולה, מתקיים: (1) $x_0^2 - y_0^2 = a^2$. הנקודה $N$ היא היטל $P$ על ציר ה-$x$, לכן $N(x_0, 0)$. נסמן את המקום הגיאומטרי הנדרש כנעלם: $M(x, y)$.
מושגים: סימון נקודות, משתנים
שלב 2: משוואות הישרים
ישר $\ell_2$: עובר דרך $P$ ומקביל לציר ה-$x$. לכן משוואתו היא $y = y_0$. ישר $\ell_1$: עובר דרך $N(x_0, 0)$ ומקביל ל-$OP$. שיפוע $OP$ הוא $m_{OP} = \frac{y_0}{x_0}$. משוואת $\ell_1$: $y - 0 = \frac{y_0}{x_0}(x - x_0)$ כלומר $y = \frac{y_0}{x_0}x - y_0$.
מושגים: משוואת ישר, שיפוע
שלב 3: מציאת נקודת המפגש M
נציב את $y = y_0$ (מתוך $\ell_2$) בתוך המשוואה של $\ell_1$: y_0 = \frac{y_0}{x_0}x - y_0 2y_0 = \frac{y_0}{x_0}x 2 = \frac{x}{x_0} \implies x = 2x_0 \implies x_0 = \frac{x}{2} מצאנו ש: $x_0 = \frac{x}{2}$ ו-$y_0 = y$.
מושגים: חיתוך ישרים, מערכת משוואות
שלב 4: הצבה במשוואה המקורית
נציב את הביטויים שמצאנו בתוך משוואה (1): \left( \frac{x}{2} \right)^2 - y^2 = a^2 \frac{x^2}{4} - y^2 = a^2 \frac{x^2}{4a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 זוהי משוואה של היפרבולה קנונית. מש"ל.
מושגים: היפרבולה, משוואה קנונית
תשובה סופית
התשובה הסופית: \frac{x^2}{4a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1
