נתון טרפז $ABCD$ (כאשר $BC \parallel AD$). נתון כי הזווית $\angle ACD = 90^\circ$. נתון: $BC = k$, $AD = 2k$, $\angle ADC = \alpha$. טרפז ABCD א. הבע את שוקי הטרפז $ABCD$ באמצעות $k$ ו-$\alpha$. המשך נתונים: הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ כך שמתקיים $CE \parallel BA$. שטח המרובע $ABCE$ הוא $\frac{\sqrt{3}}{2}k^2$. ב. מצא את $\alpha$ (מצא את שתי האפשרויות). ג. הבע באמצעות $k$ את אורך הקטע $BE$, עבור הזווית $\alpha$ הקטנה מבין השתיים שמצאת.
שימו לב לנתון $CE \parallel BA$. יחד עם הנתון $BC \parallel AD$, קיבלנו ש-$ABCE$ הוא מקבילית. זה אומר ש-$AE = BC = k$. מכיוון ש-$AD = 2k$, נובע ש-$E$ היא בדיוק אמצע הבסיס $AD$! תובנה כזו היא קיצור דרך קריטי שחוסך המון חישובים.
במשולש ישר זווית $\triangle ACD$ (עם $\angle C = 90^\circ$), אנו יכולים להשתמש בפונקציות טריגונומטריות: CD = AD \cdot \cos\alpha = 2k\cos\alpha מהנתונים $CE \parallel BA$ ו-$BC \parallel AD$ נובע ש-$ABCE$ הוא מקבילית, ולכן $AE = BC = k$. זה אומר ש-$ED = AD - AE = 2k - k = k$. נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש $\triangle CED$: CE^2 = CD^2 + ED^2 - 2 \cdot CD \cdot ED \cdot \cos\alpha CE^2 = (2k\cos\alpha)^2 + k^2 - 2(2k\cos\alpha)(k)\cos\alpha = 4k^2\cos^2\alpha + k^2 - 4k^2\cos^2\alpha = k^2 CE = k מכיוון ש-$AB = CE$ (צלעות נגדיות במקבילית), מתקיים: $AB = k$ ו-$CD = 2k\cos\alpha$.
מושגים: משולש ישר זווית, משפט הקוסינוסים, מקבילית
גובה הטרפז ($h$) הוא הגובה ליתר במשולש $\triangle ACD$: h = CD \cdot \sin\alpha = 2k\cos\alpha\sin\alpha = k\sin(2\alpha) שטח המקבילית $ABCE$ מחושב כבסיס כפול גובה: S = AE \cdot h = k \cdot k\sin(2\alpha) = k^2\sin(2\alpha) לפי הנתון, השטח שווה ל-$\frac{\sqrt{3}}{2}k^2$: k^2\sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}k^2 \sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} הפתרונות עבור $2\alpha$ בטווח $[0^\circ, 180^\circ]$ הם $2\alpha = 60^\circ$ או $2\alpha = 120^\circ$. לכן: $\alpha = 30^\circ$ או $\alpha = 60^\circ$.
מושגים: זהות טריגונומטרית, שטח מקבילית, משוואה טריגונומטרית
נשתמש בזווית הקטנה $\alpha = 30^\circ$. במשולש $\triangle CED$, הצלעות הן $CE = k$ ו-$ED = k$, והזוויות ב-$E$ ו-$D$ שוות כל אחת ל-$30^\circ$. לכן, זווית הקודקוד היא: $\angle CED = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. הזווית $\angle CEA$ צמודה ל-$\angle CED$, לכן: $\angle CEA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. במקבילית $ABCE$, זוויות סמוכות משלימות ל-$180^\circ$. מכיוון ש-$\angle AEC = 60^\circ$, מתקיים: $\angle BAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש $\triangle ABE$, כאשר $AB = k$, $AE = k$, ו-$\angle BAE = 120^\circ$: BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos(120^\circ) BE^2 = k^2 + k^2 - 2k^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2k^2 + k^2 = 3k^2 BE = \sqrt{3}k
מושגים: משפט הקוסינוסים, זוויות בטרפז, משולש שווה שוקיים
שימו לב לקשר בין תנאי ההקבלה ($CE \parallel BA$ ו-$BC \parallel AD$) לבין תכונות המקבילית. זה המפתח לפתרון יעיל.
נתון טרפז ABCD (כאשר BC∥AD). נתון כי הזווית ∠ACD=90∘. נתון: BC=k, AD=2k, ∠ADC=α.
א. הבע את שוקי הטרפז ABCD באמצעות k ו-α.
המשך נתונים: הנקודה E נמצאת על הצלע AD כך שמתקיים CE∥BA. שטח המרובע ABCE הוא 23k2.
ב. מצא את α (מצא את שתי האפשרויות).
ג. הבע באמצעות k את אורך הקטע BE, עבור הזווית α הקטנה מבין השתיים שמצאת.
