קיצון · בעיות קיצון גיאומטריות - קיפול דף נייר
השאלה
נתון דף נייר בצורת מלבן $ABCD$. אורך הצלע $AB$ הוא 30 ס"מ ואורך הצלע $AD$ הוא 40 ס"מ. בוחרים נקודות $E$ ו-$F$ על הצלעות $AB$ ו-$AD$ בהתאמה, כך שכאשר מקפלים את המלבן לאורך הקו המקווקו $EF$, הקדקוד $A$ מונח על הצלע $BC$. מצא את השטח המקסימלי של המשולש $ABE$ שנוצר באופן זה.
הטיפ של עובד
בבעיות קיפול המפתח הוא תמיד 'מה לא השתנה'. המרחק מהנקודה המקופלת לקו הקיפול נשאר אותו דבר. שימו לב לתחום ההגדרה: כדי שיהיה לנו משולש בכלל, הביטוי מתחת לשורש חייב להיות חיובי, כלומר $x \ge 15$. זה הגיוני, כי אם $AE$ קטן מ-15, הקדקוד לא יוכל 'להגיע' פיזיקלית לצלע ממול!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הגדרת משתנה
נסמן $AE = x$. מכאן $BE = 30 - x$.
מושגים: משתנים, הגדרה, הצבה
שלב 2: תכונת הקיפול
בקיפול אורך נשמר. הנקודה $A$ עוברת למיקומה החדש על צלע $BC$, ולכן המרחק לנקודת הקיפול נשאר זהה: $AE = x$.
מושגים: קיפול, שימור אורכים, הנדסה
שלב 3: קשר אלגברי - משפט פיתגורס
במשולש ישר הזווית $ABE$ (במיקומו החדש): BA^2 = x^2 - (30-x)^2 = 60x - 900 BA = \sqrt{60x - 900}
מושגים: משפט פיתגורס, אלגברה, שורשים
שלב 4: פונקציית המטרה
שטח המשולש: S(x) = \frac{(30-x) \sqrt{60x-900}}{2}
מושגים: שטח משולש, פונקציה, אופטימיזציה
שלב 5: גזירה ומציאת קיצון
נמצא את נקודת הקיצון ע"י $S'(x) = 0$. לאחר פיתוח אלגברי (כלל המכפלה וכלל השרשרת) מתקבל: x = 20
מושגים: נגזרת, קיצון, חשבון דיפרנציאלי
שלב 6: בדיקת היתכנות
המרחק $AF$ שווה ל-$\frac{30x}{\sqrt{60x-900}}$. עבור התוצאה שקיבלנו ($x=20$): AF = \frac{30 \cdot 20}{\sqrt{1200-900}} = \frac{600}{\sqrt{300}} = \frac{600}{10\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \approx 34.64 כיוון ש-$34.64 < 40$, הנקודה $F$ אכן נמצאת על הצלע $AD$, והקיפול אפשרי פיזיקלית!
מושגים: תחום הגדרה, בדיקה, היתכנות
תשובה סופית
התשובה הסופית: 50\sqrt{3}
פוקוס המורה הפרטי
הבנת תכונת שימור המרחקים בקיפול והשימוש בפיתגורס לבנייה של פונקציית השטח
