חדו״א · פונקציה טריגונומטרית
השאלה
נתונה הפונקציה $f(x) = 2 - \cos x - \sin^2 x$ בתחום $-\pi \le x \le \pi$. עבור התחום הנתון ענה על הסעיפים א-ד. א. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה). ב. מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה $f(x)$, וקבע את סוגן. ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ וסרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ (ידוע כי $f(x)$ גזירה גם בקצות התחום הנתון). מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$ בתחום $-\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{3}$. ד. נתון כי גרף הפונקציה $g(x) = a - \cos x - \sin^2 x$ משיק לציר ה-$x$ בתחום הנתון בנקודה אחת בלבד. מהו הערך של $a$? נמק.
הטיפ של עובד
משתלטים על הפונקציה לפני שמתחילים לחפור! השתמשו בזהות הזהב $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ והציבו אותה בפונקציה. תגלו שהפונקציה הופכת לפולינום ריבועי של קוסינוס: $f(x) = \cos^2 x - \cos x + 1$. בסעיף השטח (ג), זכרו שאינטגרל של נגזרת מחזיר את הפונקציה המקורית. גרף הנגזרת חותך את ציר ה-$x$ בדיוק ב-$x=0$, לכן צריך לפצל את חישוב השטח לשני חלקים.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: פישוט הפונקציה המקורית
נשתמש בזהות הטריגונומטרית $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ להפוך את הפונקציה לפולינום: f(x) = 2 - \cos x - (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x - \cos x + 1 כעת ניתן להתייחס לפונקציה כאל משוואה ריבועית עם משתנה $t = \cos x$.
מושגים: זהויות טריגונומטריות, פישוט אלגברי
שלב 2: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y: $f(0) = 1 - 1 + 1 = 1$, ולכן החיתוך בנקודה $(0, 1)$. חיתוך עם ציר x: משוואת $\cos^2 x - \cos x + 1 = 0$ עם $t = \cos x$ נותנת $t^2 - t + 1 = 0$. הדיסקרימיננטה $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.
מושגים: חיתוך עם צירים, משוואות ריבועיות
שלב 3: נקודות קיצון מוחלט
נגזור ונשווה לאפס: $f'(x) = -2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(1 - 2\cos x) = 0$. נקודות קריטיות: $x = -\pi, -\frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}, \pi$. ערכי הפונקציה: $f(-\pi) = 3$, $f(-\frac{\pi}{3}) = 0.75$, $f(0) = 1$, $f(\frac{\pi}{3}) = 0.75$, $f(\pi) = 3$. מינימום מוחלט: $(-\frac{\pi}{3}, 0.75)$ ו-$(\frac{\pi}{3}, 0.75)$. מקסימום מוחלט: $(-\pi, 3)$ ו-$(\pi, 3)$.
מושגים: נגזרת, קיצון מוחלט, נקודות קריטיות
שלב 4: גרפים והשטח המוגבל
גרף הפונקציה $f(x)$: פונקציה רציפה עם מינימה ב-$x = \pm\frac{\pi}{3}$ ומקסימה בקצות התחום. גרף הנגזרת $f'(x)$: מתאפסת ב-$x = -\pi, -\frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}, \pi$. חיובית בתחומים שבהם הפונקציה עולה, שלילית בתחומים שבהם יורדת. השטח המוגבל: הנגזרת חתוכה את ציר ה-$x$ ב-$x=0$. בתחום $[-\frac{\pi}{3}, 0]$ הנגזרת חיובית, ובתחום $[0, \frac{\pi}{3}]$ שלילית. S = |f(0) - f(-\pi/3)| + |f(\pi/3) - f(0)| = |1 - 0.75| + |0.75 - 1| = 0.25 + 0.25 = 0.5
מושגים: גרפים של פונקציות, גרפים של נגזרות, שטח מוגבל, אינטגרל
שלב 5: הזוזה אנכית והשקה לציר ה-x
הפונקציה $g(x) = a - \cos x - \sin^2 x$ היא הזוזה אנכית של $f(x)$ ב-$(a-2)$ יחידות. כדי שתהיה השקה בנקודה אחת בלבד, צריך שנקודת קיצון יחידה תיגע בציר ה-$x$. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום מקומית אחת בלבד ב-$(0, 1)$. זו הנקודה היחידה שמוגבלת לגובה אחד. כדי להוריד נקודה זו מגובה 1 ל-גובה 0 (ציר ה-$x$), עלינו להחסיר 1. a - 2 = -1 \Rightarrow a = 1
מושגים: הזזות אנכיות, משיקות, קיצון, תנאי השקה
פוקוס המורה הפרטי
שימוש בזהויות טריגונומטריות לפישוט, קיצון מוחלט, חישוב שטחים מוגבלים בנגזרת, ותנאי השקה לגרף מוזז
